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阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,△ABO和△CDO均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°.若△BOC的面积为1,试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积.

小明是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他利用图形变换解决了这个问题,其解题思路是延长CO到E,使得OE=CO,连接BE,可证△OBE≌△OAD,从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形(如图2).
请你回答:图2中△BCE的面积等于______.
请你尝试用平移、旋转、翻折的方法,解决下列问题:
如图3,已知△ABC,分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI,连接EG、FH、ID.
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)若△ABC的面积为1,则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于______.
【答案】分析:由等腰直角三角形的性质、旋转的性质知,△OEB与△BOC是等底同高的两个三角形;
①将△DBI和△FCH平移即可得到如图所示的△EGM.
②如图2,根据正方形的性质推知△ABE和△ACG都是等腰直角三角形,则根据旋转的性质推知S△AEG=S△AEM=S△AMG=S△ABC=1,所以易求△EGM的面积.
解答:解:∵△ABO和△CDO均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,
∴OD=OC,OA=OB.
又∵将△AOD绕点O顺时针旋转90°得△OBE,
∴∠DOE=90°,OD=OE,
∴点C、O、E三点共线,
∵OC=OE,
∴△OEB与△BOC是等底同高的两个三角形,
∴S△OEB=S△BOC=1,
∴S△BCE=S△OEB+S△BOC=2.

①(答案不唯一):如图1,
以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形是△EGM.

②如图2,∵四边形AEDB和四边形ACFG都是正方形,
∴△ABE和△ACG都是等腰直角三角形,
∴S△AEG=S△AEM=S△AMG=S△ABC=1,
∴S△EGM=S△AEG+S△AEM+S△AMG=3,即以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于3.
故答案是:2,3.
点评:本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积、等腰三角形的性质以及正方形的性质.注意平移、旋转的性质的应用.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

(2012•博野县模拟)阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,△ABO和△CDO均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°.若△BOC的面积为1,试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积.

小明是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他利用图形变换解决了这个问题,其解题思路是延长CO到E,使得OE=CO,连接BE,可证△OBE≌△OAD,从而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形(如图2).
请你回答:图2中△BCE的面积等于
2
2

请你尝试用平移、旋转、翻折的方法,解决下列问题:
如图3,已知△ABC,分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI,连接EG、FH、ID.
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)若△ABC的面积为1,则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于
3
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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

(2012•海淀区二模)阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
我们定义:如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α (0°<α<360°) 后所得的图形与原图形重合,则称此图形是旋转对称图形.如等边三角形就是一个旋转角为120°的旋转对称图形.如图1,点O是等边三角形△ABC的中心,D、E、F分别为AB、BC、CA的中点,请你将△ABC分割并拼补成一个与△ABC面积相等的新的旋转对称图形.

小明利用旋转解决了这个问题,图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC面积相等的新的旋转对称图形.
请你参考小明同学解决问题的方法,利用图形变换解决下列问题:
如图3,在等边△ABC中,E1、E2、E3分别为AB、BC、CA 的中点,P1、P2,M1、M2,N1、N2分别为AB、BC、CA的三等分点.
(1)在图3中画出一个和△ABC面积相等的新的旋转对称图形,并用阴影表示(保留画图痕迹);
(2)若△ABC的面积为a,则图3中△FGH的面积为
a
7
a
7

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

(2013•北京)阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,在边长为a(a>2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积.
小明发现,分别延长QE,MF,NG,PH交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2)
请回答:
(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠),则这个新正方形的边长为
a
a

(2)求正方形MNPQ的面积.
(3)参考小明思考问题的方法,解决问题:
如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△RPQ.若S△RPQ=
3
3
,则AD的长为
2
3
2
3

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

(2013•南开区一模)阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,△ABO和△CBO均为等腰直角三角形,∠AOB=∠COD=90°,若△BOC的面积为1,试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积.小明是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构成一个三角形,在计算其面积即可.他利用图形变换解决了这个问题,其解题思路是延长CO到E,使得OE=CO,连接BE,可证△OBE≌△OAD,从而等到的△BCE即时以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形(如图2).
(I)请你回答:图2中△BCE的面积等于
2
2

(II)请你尝试用平移、旋转、翻折的方法,解决下列问题:如图3,已知ABC,分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI,连接EG、FH、ID.若△ABC的面积为1,则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于
3
3

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科目:初中数学 来源:2013-2014学年江苏省江阴市顾山九年级上学期期末考试数学试卷(解析版) 题型:解答题

料:

小明遇到这样一个问题:如图1,在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,AFQ=BGM=CHN=DEP=45°,求正方形MNPQ的面积.小明发现:分别延长QE,MF,NG,PH,FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得RQF,SMG,TNH,WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2

请回答:

1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙,不重叠),则这个新的正方形的边长为__________

2)求正方形MNPQ的面积.

参考小明思考问题的方法,解决问题:

如图3,在等边ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,FBC,AC,AB的垂线,得到等边RPQ,,AD的长为__________.

 

 

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