Question

1．已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，OD交AC的延长线于E，OA=1，AE=3．则下列结论正确的有①③④．
①∠B=∠CAD；②点C是AE的中点；③$\frac{AD}{BD}$=$\frac{ED}{AE}$；④tan B=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$．

Answer 1

分析 ①依据同角的余角相等即可得出结论；②依据△ECD∽△EDA，求得CE=$\frac{11-2\sqrt{10}}{3}$≠$\frac{1}{2}$AE，即可得出点C不是AE的中点；③由△ECD∽△EDA，得$\frac{CD}{AD}$=$\frac{ED}{AE}$，根据△ACD∽△BAD，可得$\frac{CD}{AD}$=$\frac{AD}{BD}$，进而得出$\frac{AD}{BD}$=$\frac{ED}{AE}$；④根据tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{ED}{AE}$，即可得出结论．

解答 解：∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠DAB=90°，
∵∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠B=∠CAD，故①正确；
∵∠CAD=∠B=∠ODB=∠CDE，∠E=∠E，
∴△ECD∽△EDA，
∴$\frac{CE}{ED}$=$\frac{ED}{AE}$，
∵OA=1，AE=3，
∴OE=$\sqrt{10}$，ED=$\sqrt{10}$-1，
∴$\frac{CE}{\sqrt{10}-1}$=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，
∴CE=$\frac{11-2\sqrt{10}}{3}$≠$\frac{1}{2}$AE，
即点C不是AE的中点，故②不正确；
由△ECD∽△EDA，得$\frac{CD}{AD}$=$\frac{ED}{AE}$，
在Rt△ABC中，AD⊥BC，
∴△ACD∽△BAD，
∴$\frac{CD}{AD}$=$\frac{AD}{BD}$，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{ED}{AE}$，故③正确；
tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{ED}{AE}$=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理以及解直角三角形的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．