Question

已知：如图，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线过C（0，4）点，可确定c=4，然后可将A的坐标代入抛物线的解析式中，即可得出二次函数的解析式．
（2）可先设Q的坐标为（m，0）；通过求△CEQ的面积与m之间的函数关系式，来得出△CQE的面积最大时点Q的坐标．
△CEQ的面积=△CBQ的面积-△BQE的面积．
可用m表示出BQ的长，然后通过相似△BEQ和△BCA得出△BEQ中BQ边上的高，进而可根据△CEQ的面积计算方法得出△CEQ的面积与m的函数关系式，可根据函数的性质求出△CEQ的面积最大时，m的取值，也就求出了Q的坐标．
（3）本题要分三种情况进行求解：
①当OD=OF时，OD=DF=AD=2，又有∠OAF=45°，那么△OFA是个等腰直角三角形，于是可得出F的坐标应该是（2，2）．由于P，F两点的纵坐标相同，因此可将F的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标．
②当OF=DF时，如果过F作FM⊥OD于M，那么FM垂直平分OD，因此OM=1，在直角三角形FMA中，由于∠OAF=45°，因此FM=AM=3，也就得出了F的纵坐标，然后根据①的方法求出P的坐标．
③当OD=OF时，OF=2，由于O到AC的最短距离为2，因此此种情况是不成立的．
综合上面的情况即可得出符合条件的P的坐标．
解答：解：（1）由题意，得
解得（2分）
∴所求抛物线的解析式为：y=-x²+x+4．

（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G．
由-x²+x+4=0，
得x₁=-2，x₂=4
∴点B的坐标为（-2，0）
∴AB=6，BQ=m+2
∵QE∥AC
∴△BQE∽△BAC
∴
即
∴
∴S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ
=BQ•CO-BQ•EG
=（m+2）（4-）
=
=-（m-1）²+3
又∵-2≤m≤4
∴当m=1时，S_△CQE有最大值3，此时Q（1，0）．

（3）存在．在△ODF中．
（ⅰ）若DO=DF
∵A（4，0），D（2，0）
∴AD=OD=DF=2
又在Rt△AOC中，OA=OC=4
∴∠OAC=45度
∴∠DFA=∠OAC=45度
∴∠ADF=90度．此时，点F的坐标为（2，2）
由-x²+x+4=2，
得x₁=1+，x₂=1-
此时，点P的坐标为：P（1+，2）或P（1-，2）．
（ⅱ）若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M
由等腰三角形的性质得：OM=OD=1
∴AM=3
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3
∴F（1，3）
由-x²+x+4=3，
得x₁=1+，x₂=1-
此时，点P的坐标为：P（1+，3）或P（1-，3）．
（ⅲ）若OD=OF
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°
∴AC=
∴点O到AC的距离为，而OF=OD=2，与OF≥2矛盾，所以AC上不存在点使得OF=OD=2，
此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形
所求点P的坐标为：P（1+，2）或P（1-，2）或P（1+，3）或P（1-，3）．
点评：本题着重考查了图形平移变换、三角形相似、以及二次函数的综合应用等重要知识点，要注意的是（3）中不确定等腰三角形的腰是哪些线段时，要分类进行讨论．