Question

6．已知函数y=x²-2x-3与x轴交于A，B（A在B左边），与y轴交于C，顶点为D，对称轴与x轴交于K，在对称轴上存在点P，求满足下列条件的点P．
（1）使△PAC为等腰三角形；
（2）①使△PAC为直角三角形；
②在第三象限找点Q使△QAC为以AC为腰的等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）先确定出点A，C的坐标和抛物线的对称轴x=1，设出点P的坐标，利用等腰三角形的性质分三种建立方程求解；
（2）①先设出点P的坐标，分三种情况利用勾股定理建立方程，解方程即可得出结论；注意点（1，6）不满足构成三角形的条件；
②先确定出直线AC的解析式，分两种情况确定出直线AQ和AQ'的解析式，利用两直角边相等建立方程，解方程求解即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，∵函数y=x²-2x-3与x轴交于A，B（A在B左边），与y轴交于C，
∴令x=0，
∴y=-3，
∴C（0，-3），
令y=0，
∴x²-2x-3=0，
∴x=-1或x=3，
∵A在B左边，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴抛物线的对称轴为x=1，
设点P（1，m），
∴PA²=（1+1）²+m²=m²+4，PC²=1+（m+3）²，AC²=1+9=10，
∵△PAC为等腰三角形；
①当PA=PC时，PA²=PC²，
∴m²+4=1+（m+3）²，
∴m=-1，
∴P（1，-1）
②当PA=AC时，PA²=AC²，
∴m²+4=10，
∴m=±$\sqrt{6}$，
∴P（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）
③当AC=PC时，AC²=PC²，
∴10=1+（m+3）²，
∴m=0或m=-6，
∴P（1，0）或（1，-6），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（-1，0），C（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-3x-3，
当P（1，-6）时，刚好在直线AC上，
∴点A，C，P不能构成三角形，所以舍去，
即：满足条件的点P的坐标为（1，-1）或（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）或（1，0）；
（2）①如图2，设点P（1，m），
由（1）知，PA²=（1+1）²+m²=m²+4，PC²=1+（m+3）²，AC²=1+9=10，
∴△PAC为直角三角形；
Ⅰ、当∠PAC=90°时，PA²+AC²=PC²，
∴m²+4+10=1+（m+3）²，
∴m=$\frac{2}{3}$，
∴P（1，$\frac{2}{3}$）
Ⅱ、当∠PCA=90°时，PC²+AC²=PA²，
∴1+（m+3）²+10=m²+4，
∴m=-$\frac{8}{3}$，
∴P（1，-$\frac{8}{3}$）
Ⅲ、当∠APC=90°时，PA²+PC²=AC²，
∴m²+4+1+（m+3）²=10，
∴m=-1或m=-2，
∴P（1，-1）或（1，-2）
∴满足条件的P的坐标为（1，$\frac{2}{3}$）或（1，-$\frac{8}{3}$）或（1，-1）或（1，-2）；
②如图3，由（1）知，AC²=10，直线AC的解析式为y=-3x-3，
∵△QAC为以AC为腰的等腰直角三角形，
∴Ⅰ、当∠CAQ=90°时，AQ=AC，
∴AQ²=AC²，
∵A（-1，0），
∴直线AQ的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$，
设Q（a，$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{3}$），
∵点Q在第三象限，
∴a＜0，
∵A（-1，0），
∴AQ²=（a+1）²+（$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{3}$）²=$\frac{10}{9}$（a+1）²=10，
∴a=2（舍）或a=-4，
∴Q（-4，-1）；
Ⅱ、当∠ACQ'=90°时，AC²=AQ'²，
∵C（0，-3），
∴直线AQ'的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-3，
设Q'（n，$\frac{1}{3}$n-3），
∵点Q'在第三象限，
∴n＜0，
∴CQ'²=n²+（$\frac{1}{3}$n-3+3）²=$\frac{10}{9}$n²=10，
∴n=-3或n=3（舍），
∴Q'（-3，-4），
∴满足条件的点Q的坐标为（-4，-1）或（-3，-4）．

点评 此题是三角形的综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识点．解答（1）和（3）的关键是用边相等建立方程，解答（2）的关键是用勾股定理建立方程．方程思想和分类讨论思想是解答此类问题的常用数学思想．