已知△ABC,分别以AC和BC为直径作半圆O1,O2,P是AB的中点,
(1)如图1,若△ABC是等腰三角形,且AC=BC,在,上分别取点E、F,使∠AO1E=∠BO2F,则有结论①△PO1E≌△FO2P,②四边形PO1CO2是菱形,请给出结论②的证明;
(2)如图2,若(1)中△ABC是任意三角形,其他条件不变,则(1)中的两个结论还成立吗?若成立,请给出证明;
(3)如图3,若PC是⊙O1的切线,求证:AB2=BC2+3AC2.
分析:(1)可证明△APO1与△BPO2全等,则∠AO1P=∠BO2P,再根据已知可得出EO1=FO2,PO1=PO2,则△PO1E≌△FO2P,可先证明四边形PO1CO2是平行四边形,再证明CO1=CO2,即可得出四边形PO1CO2是菱形; (2)由已知得出①成立,而②只是平行四边形; (3)直角三角形APC中,设AP=c,AC=a,PC=b,则c2=a2+b2;AB2=4c2=4(a2+b2),过点B作AC的垂线,交AC的延长线于D点.则CD=a,BD=2b.BC2=a2+4b2,由此得证. 解答:解:(1))∵P、O1、O2分∥别为AB、AC、BC的中点, ∴AP=BP,AO1=BO2,PO1BC,PO2AC, ∴四边形PO1CO2是平行四边形, ∵AC=BC,∴PO1=PO2, ∴四边形PO1CO2是菱形; (2)∵P、O1、O2分别为AB、AC、BC的中点,∴AP=BP,AO1=BO2,PO1BC,PO2AC, 即PO1=BO2,AO1=PO2, ∴△APO1≌△BPO2; (3)直角三角形APC中,设AP=c,AC=a,PC=b, ∴c2=a2+b2;AB2=4c2=4(a2+b2), 过点B作AC的垂线,交AC的延长线于D点. ∴CD=a,BD=2b,BC2=a2+4b2, ∴BC2+3AC2=a2+4b2+3a2=4(a2+b2), ∴AB2=BC2+3AC2. 点评:本题综合考查了圆与全等的有关知识;利用中位线定理及构造三角形全等,利用全等的性质解决相关问题是解决本题的关键. |
考点:切线的性质;全等三角形的判定;勾股定理;三角形中位线定理;菱形的判定. |
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