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如图,AB是⊙O的直径,AC的中点D在⊙O上,DE⊥BC于E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若CE=3,∠A=30°,求⊙O的半径.
(1)证明:连接OD.(如图1)
∵D为AC中点,O为AB中点,
∴OD为△ABC的中位线.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍(1分)
∴ODBC.
∴∠ODE=∠DEC.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍(2分)
∵DE⊥BC,
∴∠DEC=90°.
∴∠ODE=90°.
∴DE⊥OD.
∵点D在⊙O上,
∴DE是⊙O的切线.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍(3分)

(2)连接BD.(如图2)
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠CDB=90°.
∴BD⊥AC,∠CDE+∠BDE=90°.
∵点D是AC的中点,
∴AB=BC.
∴∠A=∠C=30°.
∵DE⊥BC,
∴∠C+∠CDE=90°.
∴∠C=∠BDE=30°.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍(4分)
∴DE=CE•tan30°=3×
3
3
=
3

BE=DE•tan30°=
3
×
3
3
=1.
∴BC=1+3=4.
∴OD=
1
2
BC=2.
即⊙O的半径为2.(6分)
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,两个同心圆的半径分别是3cm和6cm,大⊙O的弦MN=6
3
cm,试判断MN与小⊙O的位置关系,并说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知点O为Rt△ABC斜边上一点,以点O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点E,与AC相交于点D,连接AE.
(1)求证:AE平分∠CAB;
(2)当AE=EC,AC=3时,求⊙O的半径.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,AE交⊙O于点E,且AE⊥CP于点D,且AC平分∠DAB.
(1)求证:直线CP与⊙O相切.
(2)若AB=10,∠CAB=30°,求CD的长.

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如图所示,⊙M与x轴相交于点A(2,0),B(8,0),与y轴相切于点C,则圆心M的坐标是______.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,在梯形ABCD中,ABDC.
①若∠A=90°,AB+CD=BC,则以AD为直径的圆与BC相切;
②若∠A=90°,当以AD为直径的圆与BC相切,则以BC为直径的圆也与AD相切;
③若以AD为直径的圆与BC相切,则AB+CD=BC;
④若以AD为直径的圆与BC相切,则以BC为直径的圆与AD相切.
以上判断正确的个数有(  )
A.1B.2C.3D.4

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,点C在⊙O上,CA=CD,∠CDA=30°.
(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为4,求点A到CD所在直线的距离.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于E点,点D是BC边的中点,连接DE.
(1)请判断DE与⊙O是怎样的位置关系?请说明理由.
(2)若⊙O的半径为4,DE=3,求AE的长.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,⊙O1和⊙O2的半径为1和3,连接O1O2,交⊙O2于点P,O1O2=9,若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°,则⊙O1与⊙O2共相切______次.

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同步练习册答案