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如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;
(3)在图1中,设点D坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】分析:(1)已知了O、A、B的坐标,可用待定系数法求出抛物线的解析式,进而可得到其对称轴方程和顶点M的坐标.
(2)在两条直线平移的过程中,梯形的上下底发生了改变,但是梯形的高没有变化,仍为3,即y2-y1=3,可根据抛物线的解析式,用x1、x2表示出y1、y2,然后联立y2-y1=3,可得到第一个关于x1、x2的关系式①;在两条直线平移过程中,抛物线的对称轴没有变化,可用x1、x2以及抛物线的对称轴解析式表示出梯形上下底的长,进而可得到梯形面积的表达式,这样可得到另外一个x1、x2的关系式②,联立两个关系式,即可得到关于(x2-x1)与S的关系式③,将S=36代入②③的关系式中,即可列方程组求得x1、x2的值,进而可求出A点的坐标.
(3)要解答此题,首先要弄清几个关键点:
一、当PQ∥AB时,设直线AB与抛物线对称轴的交点为E,可得△DPQ∽△DBE,可用t表示出DP、DQ的长,而E点坐标易求得,根据相似三角形所得比例线段,即可得到此时t的值即t=
二、当P、Q都停止运动时,显然BC>DM,所以此时t=DM÷1=3
可分两种情况讨论:
①当0<t<时,设直线PQ与直线AB的交点为F,与x轴的交点为G;由题意知△FQE∽△FAG,得∠FGA=∠FEQ,由于BC∥x轴,则∠DPQ=∠FGA=∠FEQ,由此可证得△DPQ∽△DEB,DB、DE的长已求得,可用t表示出DP、DQ的长,根据相似三角形所得比例线段,即可求得此时t的值;
②当<t<3时,方法同①;
在求得t的值后,还要根据各自的取值范围将不合题意的解舍去.
解答:解:(1)对称轴:直线x=1,
解析式:y=x2-x,
顶点坐标:M(1,-).

(2)由题意得y2-y1=3,y2-y1=--+=3,
得:(x2-x1)[(x2+x1)-]=3①,
s==3(x1+x2)-6,
得:x1+x2=+2②,
把②代入①并整理得:x2-x1=(S>0),
当s=36时,
解得:
把x1=6代入抛物线解析式得y1=3,
∴点A1(6,3).

(3)存在
易知直线AB的解析式为y=x-,可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为(1,-),
∴BD=5,DE=,DP=5-t,DQ=t,
当PQ∥AB时,==
得t=
下面分两种情况讨论:设直线PQ与直线AB、x轴的交点分别为点F、G;
①当0<t<时,如图1-1;
∵△FQE∽△FAG,∴∠FGA=∠FEQ,
∴∠DPQ=∠DEB;易得△DPQ∽△DEB,
=
=
得t=
∴t=(舍去);
②当<t<3时,如图1-2;
∵△FQE∽△FAG,
∴∠FAG=∠FQE,
∵∠DQP=∠FQE,∠FAG=∠EBD,
∴∠DQP=∠DBE,易得△DPQ∽△DEB,
=
=
∴t=
∴当t=秒时,使直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似.

点评:本题是二次函数的综合类试题,涉及到:二次函数解析式的确定、等腰梯形的性质、图形面积的求法、相似三角形的判定和性质等重要知识;在(3)题中能够正确的画出图形,并准确的找到所求的三角形是解答此题的关键.
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