如图1.在△ABC中.AD是BC上的高.EF是中位线.AD与EF相交于点O.若将△AEO与△AFO分别绕E.F两点旋转180°.可与梯形EBCF构成矩形PBCQ.我们把这样形成的矩形称为△ABC的一个等积矩形．(1)若△ABC的边BC=5.高AD=6.则等积矩形PBCQ的长为 .宽为 ,(2)在图2中.∠C=90°.BC=2.AC=4.试求△ABC的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图1，在△ABC中，AD是BC上的高，EF是中位线，AD与EF相交于点O，若将△AEO与△AFO分别绕E、F两点旋转180°，可与梯形EBCF构成矩形PBCQ，我们把这样形成的矩形称为△ABC的一个等积矩形．

（1）若△ABC的边BC=5，高AD=6，则等积矩形PBCQ的长为______，宽为______；
（2）在图2中，∠C=90°，BC=2，AC=4，试求△ABC的所有等积矩形的长和宽；
（3）如图3中矩形的长为3，宽为2，则能形成这样的等积矩形的三角形有多少个？试探究其中周长最小的三角形的三边长．

【答案】分析：（1）根据矩形性质得出即可；
（2）根据题意画出图形，根据矩形性质即可得出答案；
（3）画出图形，根据矩形性质求出即可．
解答：

解：（1）故答案为：5，3；

（2）在图②中，可形成如下三个等积矩形：
在图（1）中的矩形长为2，宽为2，
在图（2）中的矩形长为4，宽为1，
在图（3）中的矩形长为

，宽为

；

（3）能形成这样的等积矩形的三角形有无数个．
其中，当以BC为底时，构成已知等积矩形的三角形的高是4，
则这样的三角形的另一顶点P在如下图（1）所示的四个矩形拼成的图形中的EF上，当P为EF的中点时，△PBC的周长最小，
PB+PC+BC=

；
当以AB为底时，构成已知等积矩形的三角形的高是6，
这样的三角形的另一顶点P在如图（2）中的EF上，
同理当P为EF的中点时，△PAB的周长最小，
PB+PA+AB=

；
∵

＜12，

＞1
∴可形成此等积矩形的三角形的周长最小值为

．
此时，三角形的三边长分别为3，

，

．

点评：本题考查了矩形性质和旋转性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．

练习册系列答案

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已知：如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E．
（1）求证：AD是圆O的切线；
（2）当∠BAC=90°时，求证：

；
（3）如图2，当PC是圆O的切线，E为AD中点，BC=8，求AD的长．

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我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：
（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；
（2）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；
（3）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说

明理由．