Question

【题目】如图，点A、B、C、D是⊙O上的四个点，AD是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线垂直于点E，连接AC、BD相交于点F．

（1）求证：AC平分∠BAD；

（2）若⊙O的半径为，AC＝6，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OC，先证明OC∥AE，从而得∠OCA＝∠EAC，再利用OA＝OC得∠OAC＝∠OCA，等量代换即可证得答案；

（2）设OC交BD于点G，连接DC，先证明△ACD∽△AEC，从而利用相似三角形的性质解得，再利用＝cos∠FDC，代入相关线段的长可求得DF．

（1）证明：如图，连接OC

∵过点C的切线与AB的延长线垂直于点E，

∴OC⊥CE，CE⊥AE

∴OC∥AE

∴∠OCA＝∠EAC

∵OA＝OC

∴∠OAC＝∠OCA

∴∠OAC＝∠EAC，即AC平分∠BAD；

（2）如图，设OC交BD于点G，连接DC

∵AD为直径

∴∠ACD＝90°，∠ABD＝90°

∵CE⊥AE

∴DB∥CE

∵OC⊥CE

∴OC⊥BD

∴DG＝BG

∵∠OAC＝∠EAC，∠ACD＝90°＝∠E

∴△ACD∽△AEC

∴

∵⊙O的半径为，AC＝6

∴AD＝7，

∴

∴

易得四边形BECG为矩形

∴DG＝BG＝

∵＝cos∠FDC

∴

解得：

∴DF的长为.