Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠CAB=90°，在斜边CB上取点M，N（不包含C、B两点），且tanB=tanC=tan∠MAN=1，设MN=x，BM=n，CN=m，则以下结论能成立的是（　　）

A. m=n B. x=m+n C. x＞m+n D. x2=m2+n2

Answer 1

【答案】D

【解析】

将△ABM绕点A顺时针旋转90°至△ACN′，连接NN′；证明△AMN≌△ANN′，则有MN＝NN′；在Rt△NN'C′中，根据勾股定理可得结论．

∵tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1，

∴∠B＝∠C＝∠MAN＝45°，

∵∠CAB＝90°，

∴AC＝AB，

将△BAM绕点A顺时针旋转90°至△ACN′，点B与点C重合，点M落在N′处，连接NN′，

则有AN′＝AM，CN′＝BM，∠1＝∠3，

∵∠MCN＝45°，

∴∠1＋∠2＝45°，

∴∠2＋∠3＝45°，

∴∠NAN′＝∠MAN．

在△MAN与△NAN′中，

，

∴△MAN≌△NCN′（SAS），

∴MN＝NN′，

由旋转性质可知，∠ACN′＝∠B＝45°，

∴∠NCN′＝∠ACN′＋∠ACB＝90°，

∴NN'2＝NC2＋N'C2，

即x2＝n2＋m2，

故选：D．