Question

18．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使kx+b$＜\frac{6}{x}$成立的x的取值范围；
（3）求△ABO的面积．

Answer 1

分析 （1）先把A、B点坐标代入y=$\frac{6}{x}$求出m、n的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）根据该不等式的解集即为直线在双曲线下方时x的范围即可写出答案；
（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．S_△AOB=S_△AOD-S_△BOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果．

解答 解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的图象上，
∴6m=3n=6，
∴m=1，n=2，
∴A（1，6），B（3，2）．
又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y=kx+b的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=k+b}\\{2=3k+b}\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2\\;}\\{b=8}\end{array}\right.$，
则该一次函数的解析式为：y=-2x+8；

（2）根据图象可知使kx+b＜$\frac{6}{x}$成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；

（3）如图，分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．
令-2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．
∵A（1，6），B（3，2），
∴AE=6，BC=2，
∴S_△AOB=S_△AOD-S_△BOD=$\frac{1}{2}$×4×6-$\frac{1}{2}$×4×2=8．

点评 本题主要考查双曲线与直线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式和数形结合思想的运用是解题的关键．