Question

19．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AB=4，CD=3，BC=7，O为AD边的中点，则点O到BC的距离为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作CE⊥AB于E，OH⊥BC于H，连接OC、OB，如图，先证明四边形ADCE为矩形得到AE=CD=3，AD=CE，则BE=1，再利用勾股定理计算出CE=4$\sqrt{3}$，所以OD=OA=2$\sqrt{3}$，接着利用勾股定理的逆定理证明△BOC为直角三角形，∠BOC=90°，然后利用面积法计算出OH的长即可．

解答 解：作CE⊥AB于E，OH⊥BC于H，连接OC、OB，如图，
∵AB∥DC，
∴∠D=180°-∠A=90°，
而CE⊥AB，
∴四边形ADCE为矩形，
∴AE=CD=3，AD=CE，
∴BE=AB-AE=4-3=1，
在Rt△BCE中，CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-{1}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴AB=4$\sqrt{3}$，
∵O为AD边的中点，
∴OD=OA=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ODC中，OC²=OD²+CD²=（2$\sqrt{3}$）²+3²=21，
在Rt△OAB中，OB²=OA²+AB²=（2$\sqrt{3}$）²+4²=28，
∴OC²+OB²=49=BC²，
∴△BOC为直角三角形，∠BOC=90°，
∵$\frac{1}{2}$OH•BC=$\frac{1}{2}$•OC•OB，
∴OH=$\frac{\sqrt{21}•\sqrt{28}}{7}$=2$\sqrt{3}$，
即点O到BC的距离为2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．会利用三角形全等的知识证明角和线段相等；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．