Question

19．如图，在矩形ABCD中，AB=13cm，AD=4cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形EGFH是平行四边形．
（2）填空：
①当t为$\frac{13}{2}$s时，四边形EGFH是菱形；
②当t为8或$\frac{2}{3}$s时，四边形EGFH是矩形．

Answer 1

分析 （1）易证△ADE≌△CBF，进而易得GE∥HF，且GE=HF，所以四边形EGFH是平行四边形．
（2）①四边形EGFH是菱形，G是AE的中点，则GF=GE=GA=$\frac{1}{2}$AE，得到∠AFE=90°，根据DE=AF，列方程求解；
②四边形EGFH是矩形，易得△ADE∽△EHC，则根据$\frac{AE}{EC}=\frac{DE}{CH}$列方程求解即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°
∵AD=CB，
∵点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，
∴DE=BF，
在△ADE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CB}\\{∠D=∠B}\\{DE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE=CF，∠DEA=∠EAF=∠CFB
∵点G、H分别为AE、CF的中点，
∴GE∥HF，且GE=HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）①连EF，
∵四边形EGFH是菱形，G是AE的中点．
∴GF=GE=GA=$\frac{1}{2}$AE，
∴EF⊥AB，
∴DE=AF，
∴t=13-t，
∴t=$\frac{13}{2}$．
故答案为：$\frac{13}{2}$．
②∵四边形EGFH是矩形，
∴∠D=∠EHC=∠AEH=90°，
∴∠AED+∠HEC=∠ECH+∠HEC=90°，
∴∠AED=∠ECH，
∴△ADE∽△EHC，
∴$\frac{AE}{EC}=\frac{DE}{CH}$，
∴$\frac{\sqrt{{4}^{2}+{t}^{2}}}{13-t}=\frac{t}{\frac{1}{2}\sqrt{{t}^{2}+{4}^{2}}}$，
解得：t₁=8，t₂=$\frac{2}{3}$．
故答案为：8或$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查矩形、菱形、平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及数形结合的综合运用，第2小题根据结论逆向分析列出方程是解决问题的关键．