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17.如图,正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y=$\frac{8}{x}$(x>0)的图象上,顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上,再在其右侧作正方形A2B2P2P3,顶点A2在x轴的正半轴上,P3也在这个反比例函数的图象上,则点P3的坐标为(2$\sqrt{3}$+2,2$\sqrt{3}$-2).

分析 作P1C⊥y轴于C,P2D⊥x轴于D,P3E⊥x轴于E,P3F⊥P2D于F,设P1(a,$\frac{8}{a}$),则CP1=a,OC=$\frac{8}{a}$,易得Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D,则OB1=P1C=A1D=a,所以OA1=B1C=P2D=$\frac{8}{a}$-a,则P2的坐标为($\frac{8}{a}$,$\frac{8}{a}$-a),然后把P2的坐标代入反比例函数y=$\frac{8}{x}$,得到a的方程,解方程求出a,得到P2的坐标;设P3的坐标为(b,$\frac{8}{b}$),易得Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E,则P3E=P3F=DE=$\frac{8}{b}$,通过OE=OD+DE=4+$\frac{8}{b}$=b,这样得到关于b的方程,解方程求出b,得到P3的坐标.

解答 解:作P1C⊥y轴于C,P2D⊥x轴于D,P3E⊥x轴于E,P3F⊥P2D于F,如图所示,
则∠P1CB1=90°,
∴∠P1B1C+∠CP1B1=90°,
设P1(a,$\frac{8}{a}$),则CP1=a,OC=$\frac{8}{a}$,
∵四边形A1B1P1P2为正方形,
∴P1B1=A1B1,∠A1B1P1=∠B1A1P2=90°,
∴∠P1B1C+∠A1B1O=90°,
∴∠CP1B1=∠A1B1O,
在△P1B1C和△B1A1O中,$\left\{\begin{array}{l}{∠{P}_{1}C{B}_{1}=∠{B}_{1}O{A}_{1}}&{\;}\\{∠C{P}_{1}{B}_{1}=∠{A}_{1}{B}_{1}O}&{\;}\\{{P}_{1}{B}_{1}={A}_{1}{B}_{1}}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△P1B1C≌△B1A1O(AAS),
∴OB1=P1C=A1D=a,
同理:P1C=A1D=a,
∴OA1=B1C=P2D=$\frac{8}{a}$-a,
∴OD=a+$\frac{8}{a}$-a=$\frac{8}{a}$,
∴P2的坐标为($\frac{8}{a}$,$\frac{8}{a}$-a),
把P2的坐标代入y=$\frac{8}{x}$(x>0),
得:($\frac{8}{a}$-a)•$\frac{8}{a}$=8,
解得:a=-2(不合题意,舍去),或a=2,
∴P2(4,2),
设P3的坐标为(b,$\frac{8}{b}$),
∵四边形P2P3A2B2为正方形,
同理可证:△P2P3F≌△A2P3E,
∴P3E=P3F=DE=$\frac{8}{b}$,
∴OE=OD+DE=4+$\frac{8}{b}$,
∴4+$\frac{8}{b}$=b,
解得:b=2+2$\sqrt{3}$,或b=2-2$\sqrt{3}$(不合题意,舍去),
∴$\frac{8}{b}$=2$\sqrt{3}$-2,
∴点P3的坐标为:(2$\sqrt{3}$+2,2$\sqrt{3}$-2;
故答案为:2$\sqrt{3}$+2,2$\sqrt{3}$-2.

点评 本题考查了正方形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.

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130  132  134  134  134  135  136  137  138  138
139  141  142  142  143  144  145  146  148  149
150  152  153   157  160  162  162  165  168  172
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