Question

5．如图，抛物线y=x²-4x+3交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为D．
（1）若点P在抛物线上，且∠PDB=45°，求点P的坐标；
（2）若点P在抛物线的对称轴上，且∠BPD=45°，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DN⊥AB于N，在OC上取一点M，使得OM=BN=1，DM交抛物线于点P，先证明△DBM是等腰直角三角形，再求出直线DM与抛物线的交点即可．
（2）如图2中，连接CD，设对称轴交CD于H，交AB于M，在对称轴上取一点K，使得KM=HD=2，先证明△BMH≌△KHD，推出△DKB是等腰直角三角形，以K为圆心DK为半径作圆，交对称轴于P₁，P₂，点P₁，P₂，就是所求的点P，根据半径相等可以解决问题．

解答 （1）解：如图1中，作DN⊥AB于N，在OC上取一点M，使得OM=BN=1，DM交抛物线于点P．
在△BOM和△DNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=BN}\\{∠BOM=∠DNB}\\{OB=DN}\end{array}\right.$，
∴△BOM≌△DNB，
∴BM=DB，∠DBN=∠BMO，
∵∠BMO+∠MBO=90°，
∴∠MBO+∠DBN=90°，
∴∠DBM=90°，
∴∠DMB=∠BDM=90°，
设直线DM解析式为y=kx+b，点D（4，3），则$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{4k+b=3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线DM解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+1}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴点P坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．
（2）如图2中，连接CD，设对称轴交CD于H，交AB于M，在对称轴上取一点K，使得KM=HD=2，
在△BMH和△KHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{KM=DH}\\{∠DHK=∠KMB}\\{HK=BM}\end{array}\right.$，
∴△BMH≌△KHD，
∴DK=KB，∠DKH=∠KBM，
∵∠KBM+∠BKM=90°，
∴∠DKH+∠BKM=90°，
∴∠DKB=90°，
∴△DKB是等腰直角三角形，以K为圆心DK为半径作圆，交对称轴于P₁，P₂，
∴∠BP₁D=∠BP₂D=$\frac{1}{2}$∠DKB=45°，
∵KP₁=KP₂=DK=$\sqrt{5}$，
∴P1（2，2+$\sqrt{5}$），P₂（2，2-$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形以及等腰直角三角形解决问题，题目有难度，属于中考压轴题．