Question

已知：关于x的方程x²-（k+2）x+2x=0
（1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

（1）证明：△=（k+2）²-4•2k
=（k-2）²，
∵（k-2）²≥0，即△≥0，
∴无论取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：当b=c时，△=（k-2）²=0，则k=2，
方程化为x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，
∴△ABC的周长=2+2+1=5；
当b=a=1或c=a=1时，
把x=1代入方程得1-（k+2）+2k=0，解得k=1，
方程化为x²-3x+2=0，解得x₁=1，x₂=2，
不符合三角形三边的关系，此情况舍去，
∴△ABC的周长为5．
分析：（1）先计算出△=（k+2）²-4•2k=（k-2）²，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；
（2）分类讨论：当b=c时，△=0，则k=2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长；当b=a=1或c=a=1时，把x=1代入方程解出k=1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系．