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    1．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{4}$x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（-8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．
    （1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；
    （2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：AP•AN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；
    （3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒$\sqrt{5}$个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少？

    分析 （1）利用交点式可写出抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$x+4，再求出C点坐标，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则根据圆周角定理的推论可判断AB为直径，从而得到圆心M点的坐标；
    （2）如图1，利用圆周角定理得到∠APB=90°，则可证明△APB∽△AON．然后利用相似比可得到AN•AP=20，即AP•AN为定值；
    （3）先根据垂径定理得到OD=OC=4，则D（0，-4），易得直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-4，过F点作FG⊥x轴于G，如图2，通过证明△BFG∽△BDO得到$\frac{BF}{FG}$=$\frac{BD}{OD}$=$\sqrt{5}$，则点Q沿线段FB以每秒$\sqrt{5}$个单位的速度运动到点B所用时间等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，于是判断当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少，作∠EBI=∠ABE，BI交y轴于I，作FH⊥BI于H，则FH=FG，当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH⊥BI，如图2，作DK⊥BI，垂足为K，设DI=m，证明△IDK∽△IBO得到BI=2m，
    则利用勾股定理得到82+（4+m）2=（2m）2，解得m1=4（舍去），m2=$\frac{20}{3}$，从而得到I（0，-$\frac{32}{3}$），接下来利用待定系数法确定直线BI的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{32}{3}$，再确定直线AH的解析式，然后求直线BE和AH的交点坐标即可．

    解答 解：（1）抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x+8）（x-2），
    即y=-$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$x+4；
    当x=0时，y=-$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$x+4=4，则C（0，4）
    ∴BC=4$\sqrt{5}$，AC=2$\sqrt{5}$，AB=10，
    ∵BC2+AC2=AB2，
    ∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
    ∴AB为直径，
    ∴圆心M点的坐标为（-3，0）；
    （2）以AP•AN为定值．理由如下：
    如图1，
    ∵AB为直径，
    ∴∠APB=90°，
    ∵∠APB=∠AON，∠NAO=∠BAP，
    ∴△APB∽△AON．
    ∴AN：AB=AO：AP，
    ∴AN•AP=AB•AO=20，
    所以AP•AN为定值，定值是20；
    （3）∵AB⊥CD，
    ∴OD=OC=4，则D（0，-4），
    易得直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x-4，
    过F点作FG⊥x轴于G，如图2，
    ∵FG∥OD，
    ∴△BFG∽△BDO，
    ∴$\frac{BF}{BD}$=$\frac{FG}{OD}$，即$\frac{BF}{FG}$=$\frac{BD}{OD}$=$\frac{4\sqrt{5}}{4}$=$\sqrt{5}$，
    ∴点Q沿线段FB以每秒$\sqrt{5}$个单位的速度运动到点B所用时间
    等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，
    ∴当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少，
    作∠EBI=∠ABE，BI交y轴于I，
    作FH⊥BI于H，则FH=FG，
    ∴AF+FG=AF+FH，
    当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH⊥BI，如图2，
    作DK⊥BI，垂足为K，
    ∵BE平分∠ABI，
    ∴DK=DO=4，
    设DI=m，
    ∵∠DIK=∠BIO，
    ∴△IDK∽△IBO，
    ∴$\frac{DI}{BI}$=$\frac{DK}{OB}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
    ∴BI=2m，
    在Rt△OBI中，82+（4+m）2=（2m）2，解得m1=4（舍去），m2=$\frac{20}{3}$，
    ∴I（0，-$\frac{32}{3}$），
    设直线BI的解析式为y=kx+n，
    把B（-8，0），I（0，-$\frac{32}{3}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-8k+n=0}\\{n=-\frac{32}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{32}{3}}\end{array}\right.$，
    ∴直线BI的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{32}{3}$，
    ∵AH⊥BI，
    ∴直线AH的解析式可设为y=$\frac{3}{4}$x+q，
    把A（2，0）代入得$\frac{3}{2}$+q=0，解得q=-$\frac{3}{2}$，
    ∴直线AH的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$，
    解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-4}\\{y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
    ∴F（-2，-3），
    即当点F的坐标是（-2，-3）时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少．

    点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、圆周角定理和角平分线的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式；利用两点之间线段最短解决最短路径问题，会利用勾股定理和相似比进行几何计算．

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    （1）求反比例函数的表达式；
    （2）观察图象回答：当x为何范围时，y1＞y2；
    （3）求△PAB的面积．

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