Question

7．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④∠CEA=∠DFB；⑤S_△AOB=S_{四边形DEOF}中正确的有（　　）

• A． 4个
• B． 3个
• C． 2个
• D． 1个

Answer 1

分析 根据正方形的性质得AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，则由CE=DF易得AF=DE，根据“SAS”可判断△ABF≌△DAE，所以AE=BF；
根据全等的性质得∠ABF=∠EAD，∠AFB=∠DEA，利用∠EAD+∠EAB=90°得到∠ABF+∠EAB=90°，则AE⊥BF；
连结BE，BE＞BC，BA≠BE，而BO⊥AE，根据垂直平分线的性质得到OA≠OE；
最后根据△ABF≌△DAE得S_△ABF=S_△DAE，则S_△ABF-S_△AOF=S_△DAE-S_△AOF，即S_△AOB=S_{四边形DEOF}．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=DC，∠BAD=∠D=90°，
而CE=DF，
∴AF=DE，
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAD=∠ADE}&{\;}\\{AF=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE=BF，故①正确；
∴∠ABF=∠EAD，∠AFB=∠DEA，
∴∠CEA=∠DFB，故④正确；
而∠EAD+∠EAB=90°，
∴∠ABF+∠EAB=90°，
∴∠AOB=90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
连结BE，如图所示：
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，故③错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S_△ABF=S_△DAE，
∴S_△ABF-S_△AOF=S_△DAE-S_△AOF，
∴S_△AOB=S_{四边形DEOF}，故⑤正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选：A．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了正方形的性质．