Question

23、观察下面各式规律：1²+（1×2）²+2²=（1×2+1）²；2²+（2×3）²+3²=（2×3+1）²；3²+（3×4）²+4²=（3×4+1）²…写出第n行的式子，并证明你的结论．

Answer 1

分析：本题考查学生的观察归纳的能力．仔细观察各式的结构特征，不难发现式子的左侧是连续两整数及它们乘积的平方和，右侧是它们的乘积与1的和的平方．然后，证明结论．

解答：解：第n个式子：n²+[n（n+1）]²+（n+1）²=[n（n+1）+1]²，
证明：因为左边=n²+[n（n+1）]²+（n+1）²，
=n²+（n²+n）²+（n+1）²，
=（n²+n）²+n²+n²+2n+1，
=（n²+n）²+2（n²+n）+1，
=（ n²+n+1）²，
而右边=（n²+n+1）²，
所以，左边=右边，等式成立．

点评：本题考查了完全平方公式，关键是凑成（n²+n）²+2（n²+n）+1的形式，考查了学生对完全平方公式的变形应用能力．