Question

如图⊙P的圆心P在⊙O上，⊙O的弦AB所在的直线与⊙P切于C，若⊙P的半径为r，⊙O的半径为R．⊙O和⊙P的面积比为9：4，且PA=10，PB=4.8，DE=5，C、P、D三点共线．
（1）求证：PA•PB=2R•r；
（2）求AE的长；
（3）连接PD，求sin∠PDA的值．

Answer 1

解：（1）连接CP，作⊙O的直径AF，连接PF，

则∠APF=90°，
∵AC切于⊙O于C，
∴∠ACP=∠APF=90°，又∠PBC=∠AFP，
∴△APF∽△PCB，
∴=，
∵AF=2R，PC=r，
∴=，
∴PA•PB=2R•r；

（2）∵⊙O和⊙P的面积比为9：4，
∴R：r=3：2，又PA=10，PB=4.8，
∴PA•PB=2R•r=3r²=10×4.8，
∴r=4，即PC=4，
在Rt△APC中，PA=10，PC=4，
根据勾股定理得：AC²=AP²-PC²=84，
连接CE，∵CD为直径，∴∠AEC=90°，
∵∠CAD=∠EAC，∠ACD=∠AEC=90°，
∴△AEC∽△ACD，
∴=，即AC²=AE•AD，
∴AC²=AE•AD=AE•（AE+DE）=AE•（AE+5），
整理得：AE²+5AE-84=0，
解得：AE=-12（舍去）或AE=7，
则AE=7；

（3）∵r=4，R=r=6，
∴AF=12，又AP=10，
∴sin∠PDA=sin∠PFA===．
分析：（1）连接CP，作圆O的直径AF，连接PF，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到AC垂直于PC，可得出∠ACP为直角，由AF为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角可得出∠APF为直角，得到一对直角相等，再由圆内接四边形AFPB的外角等于它的内对角得到∠BPC=∠BAF，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形APF与三角形BCP相似，由相似得比例列出比例式，将AF=2R，PC=r代入比例式，可得出PA•PB=2R•r，得证；
（2）由两圆的面积之比求出半径之比，再由PA与PB的长及第一问的结论求出r的值，即为PC的长，在直角三角形APC中，由PC与AP的长，利用勾股定理求出AC的长，连接CE，由CD为圆P的直径，得到直径所对的圆周角为直角，得到一对直角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形ACE与三角形ACD相似，由相似得比例，将AC，DE的长代入得到关于AE的方程，求出方程的解即可得到AE的长；
（3）利用同弧所对的圆周角相等可得出∠PDA=∠PFA，在直角三角形APF中，由r的值及R与r的关系求出R的长，可得出AF的长，再由AP的长，利用锐角三角函数定义求出sin∠PFA的值，即为sin∠PDA的值．
点评：此题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．