Question

已知抛物线y=2x²-kx-1与x轴两交点的横坐标,一个大于2,另一个小于2,试求k的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

k>

【解析】本题主要考查一元二次方程与函数的关系

由题意物线y=2x²-kx-1与x轴两交点，说明方程2x²-kx-1=0的△＞0，又两根一个大于2，另一个小于2，根据方程根与系数的关系求出k的取值范围．

∵y=2x²-kx-1,∴△=(-k)²-4×2×(-1)=k²+8>0,

∴无论k为何实数, 抛物线y=2x²-kx-1与x轴恒有两个交点.

设y=2x²-kx-1与x轴两交点的横坐标分别为x₁,x₂,且规定x₁<2,x₂> 2,

∴x₁-2<0,x₂-2>0.

    ∴(x₁-2)(x₂-2)<0,∴x₁x₂-2(x₁+x₂)+4<0.

∵x₁,x₂亦是方程2x²-kx-1=0的两个根,

∴x₁+x₂=,x₁·x₂=-,

 ∴,∴k>.

    ∴k的取值范围为k>.

    法二:∵抛物线y=2x²-kx-1与x轴两交点横坐标一个大于2,另一个小于2,

∴此函数的图象大致位置如答图所示.

由图象知:当x=2时,y<0.

    即y=2×2²-2k-1<0,∴k>.∴k的取值范围为k>