Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知A（－3，0），B（4，0），C（0，4）. 二次函数的图像经过A、B、C三点．点P沿AC由点A处向点C运动，同时，点Q沿BO由点B处向点O运动，运动速度均为每秒1个单位长度.当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与二次函数的图像交于点D，连接PD，PD与BC交于点E． 设点P的运动时间为t秒（t＞0）.

⑴ 求二次函数的表达式；

⑵ 在点P、Q运动的过程中，当∠PQA＋∠PDQ＝90°时，求t的值；

⑶ 连接PB、BD、CD，试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PBDC是平行四边形？若存在，请求出此时t的值与点E的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】⑴ ⑵当∠PQA = 90°-∠PDQ时，t的值为 ⑶ 不存在某一时刻，使得四边形PBDC是平行四边形

【解析】(1)把A（－3，0），B（4，0），C（0，4）三点代入y=ax+bx+c即可求解;(2)求出直线AC的解析式，利用二次函数的解析式分别设出点P、D的坐标，作PH⊥DQ,可得DQ=2HQ,利用即可求出t的值;(3)由直线PD与BC相交于E,用含t的代数式设出点E的坐标，点E又在直线BC: y=-x+4上,得到关于t的一元二次方程，再利用根的判别式小于0，判断出方程无解即可.

详解⑴设y=ax+bx+c，把A（－3，0），B（4，0），C（0，4）三点代入得

，解得

∴

⑵，

作,

∵ ∴

∴=

解得（舍去），,

∴当∠PQA = 90°-∠PDQ时，的值为

⑶不存在某一时刻，使得四边形PBDC是平行四边形.

理由：若四边形PBDC是平行四边形, 则BC平分线段PD，

∵点E又在直线BC: 上，

∴

整理得

此方程根的判别式，

∴方程无实数根.

即不存在某一时刻，四边形PBDC是平行四边形.