Question

2．已知，在△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，△AEF与正方形ABCD有公共顶点A，连接CF，G为CF的中点，连接EG、DG．
（1）如图1，当点E在AC上，点F在AD上时，请猜想线段EG、DG的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若将△AEF绕点A按顺时针方向旋转45°，使点E在AD上，其他条件不变，此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的性质，得出EG=DG，再利用等腰三角形的性质得出EG⊥DG；
（2）首先连接AG、AC得出△AGE≌△FGE（SSS），进而得出△AGD≌△CGD（SSS），即可得出EG=DG且EG⊥DG．

解答 解：（1）猜想EG=DG且EG⊥DG．证明如下：
如图1所示：根据题意可知，∠CEF=∠CDF=90°
∵G是CF的中点
∴EG=CG=FG=$\frac{1}{2}$FC=DG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴∠1=∠2；∠3=∠4
∴∠5=2∠1；∠6=2∠3
∴∠DGE=∠5+∠6=2（∠1+∠3）=2∠ACD=90°
∴EG⊥DG；

（2）（1）中结论依然成立，证明如下：
如图2所示，连接AG、AC，
∵∠AEF=90°，AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形
∴∠EAF=45°，
又AC是正方形ABCD的对角线，故∠DAC=45°
将△AEF绕点A按顺时针方向旋转45°，使点E在AD上，
∴∠CAF=90°
∵G是CF的中点
∴AG=CG=FG；∠1=∠CAG
∵AE=EF，EG=EG，
在△AGE和△FGE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AG=FG}\\{EG=EG}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△FGE（SSS），
∴∠2=∠3=$\frac{1}{2}$∠AGF=$\frac{1}{2}$（∠CAG+∠1）；
∴AC∥EG，∴∠4=∠CAD=45°
又∵$\left\{\begin{array}{l}{AG=CG}\\{AD=CD}\\{DG=GD}\end{array}\right.$；
∴△AGD≌△CGD（SSS）
∴∠5=∠6=$\frac{1}{2}$∠ADC
∴∠DGE=90°，
∴EG=DG且EG⊥DG．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，得出△AGD≌△CGD是解题关键．