Question

如图所示，把一个直角三角尺ABC绕着60°角的顶点B顺时针旋转，使得点C与AB的延长线上的点D重合．
（1）三角尺旋转了多少度？
（2）连接CD，试判断△ACD的形状，对结论加以证明；
（3）连接CE，试猜想线段AC与CE的大小关系，并予以证明，求出CE的长．

Answer 1

（本小题满分14分）
解：（1）三角尺旋转了180°-60°=120°；

（2）△ACD为等腰三角形．
设BE、CD相交于F，由题设三角尺ABC为Rt△，∠ABC=60°，∠A=60°，
∵△BDE由△BCA旋转120°而得，由旋转的特征知，BC=BD，∠DBE=60°，
∴∠CBE=120°-60°=60°．
∴BF为等腰三角形顶角的平分线，即BF⊥CD于F．
∴∠BDC=90°-∠DBE=30°，
∴∠CAD=∠CDA=30°．
即△ACD为等腰三角形．

（3）AC=CE．
由（2）知，BE垂直平分CD，
∴DE=CE，
又∵△BDE由△BCA绕B旋转而得，
∴△ABC≌△EBD
∴DE=AC．
∴AC=CE，即两条线段长度相等．
分析：（1）∠CBD就是旋转角，据此即可求解；
（2）根据旋转的性质，即可证得∠CAD=∠CDA=30°，根据等角对等边即可证得；
（3）根据旋转的性质，证得△ABC≌△EBD，即可证得．
点评：本题主要考查了旋转的性质，在旋转过程中要注意旋转角的确定，证线段相等的问题转化为证明三角形全等的问题．