Question

已知关于x的一元二次方程x²-4x+1-2k=0有两个不等的实根，
（1）求k的取值范围；
（2）若k取小于1的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；
（3）在（2）的条件下，二次函数y=x²-4x+1-2k与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若
∠DAB=60°，求D点的坐标．

Answer 1

解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-4x+1-2k=0有两个不等的实根，
∴△=（-4）²-4×1×（1-2k）=12+8k＞0，
解得，k＞-；

（2）∵k取小于1的整数，
∴k=-1或0，
①当k=-1时，方程为x²-4x+3=0，
即（x-2）²=1，
∴x-2=1或x-2=-1，
解得x₁=3，x₂=1，
②当k=0时，方程为x²-4x+1=0，
即（x-2）²=3，
∵方程的解为整数，
∴k=0不符合，
∴k=-1，此时方程的两个整数根是x₁=3，x₂=1；

（3）如图所示，根据（2），二次函数解析式为，y=x²-4x+3，
∴点A、B的坐标分别为A（1，0），B（3，0），
∴对称轴为x=2，
∴AC=（3-1）=1，
∵∠DAB=60°，
∴AD=2AC=2，
∴CD===，
当点D在AB的上方时，坐标为（2，），在AB的下方时，坐标为（2，-），
∴点D的坐标为（2，）或（2，-）．
分析：（1）根据根的判别式，有两个不等的实根，根的判别式△=b²-4ac＞0列出关于k的不等式12+8k＞0，求解即可得到k的取值范围；
（2）利用（1）中k的取值范围求得k的整数解，然后将其代入关于x的一元二次方程x²-4x+1-2k=0并整理，再根据配方法进行求解；
（3）先求出二次函数的解析式，然后求出抛物线与x轴的交点，从而得到对称轴的解析式以及AB的长度，再根据∠DAB=60°求出点D到x轴的距离，然后根据点D在AB的上方与下方两种情况讨论得解．
点评：本综合考查了根的判别式，一元二次方程的解法以及二次函数的性质，抛物线与x轴的交点情况，综合性较强，但难度不是很大，根据整数根求出k的值是解题的关键．