Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．

（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；
（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？
（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？

Answer 1

分析：（1）由相似三角形的判定得出△DEB∽△ACB，从而得出角的关系，再由AD=CD，得出BD与AB的关系，即可求的结论．
（2）此题分两种情况求解，△BME∽△CNE或△BME∽△ENC，根据相似三角形的性质即可求得；
（3）根据四边形的面积求解方法，利用分割法求不规则四边形的面积，作辅助线EN⊥BD即可求得．

解答：（1）证明：∵AD=CD
∴∠DAC=∠DCA
∴∠BDC=2∠DAC
∵DE是∠BDC的平分线
∴∠BDC=2∠BDE
∴∠DAC=∠BDE
∴DE∥AC；
（2）解：（I）当△BME∽△CNE时，得∠MBE=∠NCE
∴BD=DC
∵DE平分∠BDC
∴DE⊥BC，BE=EC
又∠ACB=90°
∴DE∥AC
∴

BE

BC

=

BD

AB

即BD=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=5
∴AD=5
（II）当△BME∽△ENC时，得∠EBM=∠CEN
∴EN∥BD
∵EN⊥CD
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高
由三角形面积公式得AB•CD=AC•BC
∴CD=

24

5

∴AD=

AC2-CD2

=

18

5

综上，当AD=5或

18

5

时，△BME与△CNE相似；
（3）解：由角平分线性质易得S_△MDE=S_△DEN=

1

2

DM•ME
∵S_{四边形MEND}=S_△BDE
∴

1

2

BD•EM=DM•EM即DM=

1

2

BD
∴EM是BD的垂直平分线
∴BE=DE，DM=BM，
∴BD=2BM，
∴∠EDB=∠DBE
∵∠EDB=∠CDE
∴∠DBE=∠CDE
∵∠DCE=∠BCD
∴△CDE∽△CBD
∴

CD

BC

=

CE

CD

①，
∴

CD

BC

=

BE

BD

=

BE

2BM

∵BC=8，
即CD=

4BE

BM

∴cosB=

BM

BE

=

4

5

∴CD=4×

5

4

=5
由①式得CE=

CD2

BC

=

25

8

∴BE=

39

8

∴BM=BE•cosB=

4

5

×

39

8

=

39

10

∴AD=AB-2BM=10-2×

39

10

=

11

5

．

点评：此题考查了平行线的判定，还考查了相似三角形的判定与性质，解题时要注意数形结合思想的应用，要注意不规则图形的面积的求解方法．