Question

9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，延长CB至点E，使BE=BC，连按AE．
（1）求证：四边形ADBE是平行四边形；
（2）若AB=4，OB=$\frac{5}{2}$，求四边形ADBE的周长．

Answer 1

分析 （1）依据矩形的性质可知AD∥BE，AD=BC，结合条件BE=CB可得到AD=BE，然后依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明即可；
（2）依据矩形的性质可得到AC=BD=2OB=4，由ADBE为平行四边形可知AE=5，在Rt△ABE中，依据勾股定理可求得BE的长，最后依据平行四边形ADBE的周长=2×（BE+DE）求解即可．

解答 解：（1）∵ABCD为矩形，
∴AD=BC，AD∥BC．
又∵BC=BE，
∴BE=AD．
∵AD∥BE，
∴四边形ADBE为平行四边形．
（2）∵ABCD为矩形，OB=$\frac{5}{2}$，
∴AC=BD=5，∠ABE=90°
∵四边形ADBE为平行四边形，
∴AE=BD=5．
在Rt△ABE中，依据勾股定理可知：BE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
∴平行四边形ADBE的周长=2×（BE+DE）=2×（5+3）=16．

点评 本题主要考查的是矩形的性质、平行四边形的性质和判定、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．