Question

如图，△ABC中，CB=

3

CA，∠A-∠B=90°，则∠C=

 

．

Answer 1

分析：根据三角形中高长相等即在不同的三角形中计算CD，得到一个关于CD的等量关系式，根据此等量式即可求解．

解答：解：
延长BA，作CD⊥AD，则∠CAD+∠CAB=180°，
sin∠CAD=sin∠CAB，
故在直角三角形ACD中CD=AC×sin∠CAD，
在直角三角形ACD中，CD=BC×sin∠B，
∴

CB

CA

=

sin∠CAD

sin∠B

=

sin∠CAB

sin∠B

．
∵∠CAB-∠B=90°，且∠CAB，∠B均小于180°，
∴sin∠BAC=cos∠B，
又∵在三角形中存在中

a

b

=

sin∠CAB

sin∠B

的等量关系式，
故tanB=

CA

CB

=

3

3

，
∴∠B=30°，∠A=120°，
∠C=30°．
故答案为30°．

点评：本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了角的正弦的应用，本题中根据CD计算

a

b

=

sin∠CAB

sin∠B

等量关系式是解题的关键．