Question

7．在△ABC中，∠ACB=90°，经过点B的直线l（不与直线AB重合）与直线BC的夹角∠DBC=∠ABC，分别过点C、A作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）问题发现
①若∠ABC=30°，如图①，则$\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{2}$；②若∠ABC=45°，如图②，则$\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{2}$．
（2）拓展探究
当0°＜∠ABC∠90°，$\frac{CD}{AE}$的值由有无变化？请仅就图③的情形给出证明．
（3）问题解决
随着△ABC的位置旋转，若直线CE、AB交于点F，且$\frac{CF}{EF}$=$\frac{5}{6}$，CD=4，请直接写出线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）①根据直角三角形的性质得到CD=$\frac{1}{2}$BC，根据全等三角形的性质得到BC=AE，等量代换得到CD=$\frac{1}{2}$AE，即可得到结论；②推出△ACB是等腰直角三角形，求得∠CBD=45°，证得B与E重合，根据等腰直角三角形的性质得到EF=$\frac{1}{2}$AE，根据矩形的性质得到EF=CD，即可得到结论；
（2）延长AC与直线L交于G，根据等腰三角形的性质得到BA=BG，证得CD∥AE，根据相似三角形的性质即可得到$\frac{CD}{AE}$的值；
（3）分情况讨论：①当点F在线段AB上时，过C作CG∥l交AE于H，交AB于G，推出△CFG∽△EFB，根据相似三角形的性质得到$\frac{CF}{EF}$=$\frac{5}{6}$，设CG=5x，BE=6x，则AB=10x，∵∠根据勾股定理得到AE=8x，由（2）得AE=2CD，根据相似三角形的性质得到$\frac{HG}{BE}$=$\frac{1}{2}$，于是得到CH=CG+HG=8，根据平行四边形的性质得到DE=CH=8，求得BD=DE=BE=2；②当点F在线段BA的延长线上时，过点C作CG∥l交AE于点H，交AB于G，同理可得求得结论．

解答 解：（1）①如图①，∵CD⊥BD，
∴∠CDB=90°，
∵∠DBC=∠ABC=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC，
在△ABE与△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠AEB=90°\\;}\\{∠BAE=∠ABC=30°}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ABE（AAS），
∴BC=AE，
∴CD=$\frac{1}{2}$AE，
∴$\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{2}$；
②如图②，∵∠ABC=45°，∠ACB=90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∵∠CBD=45°，
∴∠ABD=90°，
∵AE⊥BC，
∴B与E重合，
∴EF=$\frac{1}{2}$AE，
∵CD⊥BD，
∴四边形CDEF的矩形，
∴EF=CD，
∴CD=$\frac{1}{2}$AE，
∴$\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$；

（2）$\frac{CD}{AE}$的值无变化，
理由：如图③，延长AC与直线l交于G，
∴∠ABC=∠CBG，
∵∠ACB=90°，
∴∠AGB=∠BAG，
∴BA=BG，
又∵BC⊥AG，
∴C是AG的中点，
∵AE⊥l，CD⊥l，
∴CD∥AE，
∴△GCD∽△GAE，
∴$\frac{CD}{AE}$=$\frac{GC}{GA}$=$\frac{1}{2}$；

（3）分两种情况：
①如图④，当点F在线段AB上时，过C作CG∥l交AE于H，交AB于G，
∴∠DBC=∠HCB，
∵∠DBC=∠CBF，
∴∠CBF=∠HCB，
∴CG=BG，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAG+∠CBF=∠HCB+∠ACG=90°，
∴∠ACG=∠CAG，
∴CG=AG=BG，
∵CG∥l，
∴△CFG∽△EFB，
∴$\frac{CF}{EF}$=$\frac{CG}{BE}$=$\frac{5}{6}$，
设CG=5x，BE=6x，则AB=10x，
∵∠AEB=90°，
∴AE=8x，
由（2）得AE=2CD，
∵CD=4，
∴AE=8=8x，
∴x=1，
∴AB=10，BE=6，CG=5，
∵GH∥l，
∴△AGH∽△ABE，
∴$\frac{HG}{BE}$=$\frac{AH}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴HG=3，
∴CH=CG+HG=8，
∵CG∥l，CD∥AE，
∴四边形CDEH为平行四边形，
∴DE=CH=8，
∴BD=DE-BE=2；

②如图⑤，当点F在线段BA的延长线上时，
过点C作CG∥l，交AE于点H，交AB于G，
同理可得CG=5，BE=6，HG=3，
∴DE=CH=CG-HG=2，
∴BD=DE+BE=8，
综上所述，线段BD的长为2或8．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形、平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，正确的作出辅助线，构造相似三角形和矩形是解题的关键．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．