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    【题目】如图，点C是半圆O上的一点，AB是⊙O的直径，D是的中点，作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F，求证：AF=DF.

    下面是小明的做法，请帮他补充完整（包括补全图形）

    解：补全半圆O为完整的⊙O，连接AD，延长DE交⊙O于点H（补全图形）

    ∵D是的中点，

    ∴.

    ∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，

    ∴（ ）（填推理依据）

    ∴

    ∴∠ADF=∠FAD（ ）（填推理依据）

    ∴AF=DF（ ）（填推理依据）

    【答案】垂径定理，等弧所对的圆周角相等，等角对等边．

    【解析】

    利用圆周角定理以及垂径定理证明∠ADF=∠FAD即可解决问题．

    补全半圆O为完整的⊙O，连结AD，延长DE交⊙O于点H（补全图形）．

    ∵D是的中点，

    ∴.

    ∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，

    ∴（垂径定理）

    ∴

    ∴∠ADF=∠FAD（等弧所对的圆周角相等）

    ∴AF=DF（等角对等边）

    故答案为：垂径定理，等弧所对的圆周角相等，等角对等边．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】已知⊙O经过四边形ABCD的B、D两点，并与四条边分别交于点E、F、G、H，且．

    （1）如图①，连接BD，若BD是⊙O的直径，求证：∠A＝∠C；

    （2）如图②，若的度数为θ，∠A＝α，∠C＝β，请直接写出θ、α和β之间的数量关系．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】在△OAB，△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°.

    （1）若O、C、A在一条直线上，连AD、BC，分别取AD、BC的中点M、N如图（1），求出线段MN、AC之间的数量关系；

    （2）若将△OCD绕O旋转到如图（2）的位置，连AD、BC，取BC的中点M，请探究线段OM、AD之间的关系，并证明你的结论；

    （3）若将△OCD由图（1）的位置绕O顺时针旋转角度α（0°＜α＜360°），且OA=4，OC=2，是否存在角度α使得OC⊥BC？若存在，请直接写出此时△ABC的面积；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．

    （1）求证：∠AEB=∠ADC；

    （2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（　　）

    A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.AD=CD

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴与x轴交于点A.

    （1）A的坐标为 （用含a的代数式表示）；

    （2）若抛物线与x轴交于P，Q两点，且PQ=2，求抛物线的解析式.

    （3）点B的坐标为，若该抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例．

    原题：如图①，点分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由．

    （1）思路梳理

    因为，所以把绕点逆时针旋转90°至，可使与 重合．因为，所以，点共线．

    根据 ，易证 ，得.请证明．

    （2）类比引申

    如图②，四边形中，，，点分别在边上，.若都不是直角，则当与满足等量关系时，仍然成立，请证明．

    （3）联想拓展

    如图③，在中，，点均在边上，且.猜想应满足的等量关系，并写出证明过程．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】已知：如图所示．在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．

    （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？

    （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？

    （3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】在菱形ABCD中，∠BAD=，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合），将射线EB绕点E顺时针旋转角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．

    小宇发现点E的位置，和的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．

    （1）如图1，当==90°时，菱形ABCD是正方形．小宇发现，在正方形中，AC平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分线的性质可知EM=EN，进而可得，并由全等三角形的性质得到EB与EF的数量关系为 ．

    （2）如图2，当=60°，=120°时，

    ①依题意补全图形；

    ②请帮小宇继续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请举出反例说明；

    （3）小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后，在此基础上对一般的图形进行了探究，设∠ABE=，若旋转后所得的线段EF与EB的数量关系满足（1）中的结论，请直接写出角,，满足的关系： ．

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