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(2009•黔南州)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E是BC边上的中点,连接DE.
(1)DE与半圆0是否相切?若相切,请给出证明;若不相切,请说明理由;
(2)若AD、AB的长是方程x2-16x+60=0的两个根,求直角边BC的长.
分析:(1)连接OD、BD,求出BD⊥AC,AD=CD,求出DE=BE,推出∠EDB=∠EBD,∠ODB=∠OBD,推出∠ODE=90°,根据切线的判定推出即可;
(2)求出AD和AB的值,证Rt△ADB∽Rt△ABC,得出
AB
AD
=
AC
AB
,求出AC=
50
3
,根据勾股定理求出即可.
解答:解:(1)DE与半圆O相切,理由如下:
连接OD、BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BDA=∠BDC=90°,
∵在Rt△BDC中,E为BC边上的中点,
∴DE=BE,
∴∠EBD=∠BDE,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°,
∴∠ODB+∠EDB=90°,
∵OD是半径,
∴DE与半圆O相切;

(2)∵AD、AB的长是方程x2-16x+60=0的两个根,
∴解方程得:x1=6,x2=10,
∵AD<AB,
∴AD=6,AB=10,
∵在Rt△ABC中,BD⊥AC,
∴Rt△ADB∽Rt△ABC,
AB
AD
=
AC
AB

即AB2=AD•AC,
∴AC=
AB2
AD
=
50
3

在Rt△ABC中,AB=10,AC=
50
3

∴BC=
AC2-AB2
=
40
3
点评:本题考查了相似三角形的性质和判定,直角三角形斜边上中线性质,等腰三角形性质,圆周角定理,勾股定理等知识点的应用,主要考查学生的推理和计算能力.
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5
5
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x-1
=
1
x2-1
+2
            
(2)(-1)2009-(
1
2
)
-2
+
16
-cos60°

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