Question

【题目】请阅读下列材料：

问题：如图，在正方形和平行四边形中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连接，．

探究：当与的夹角为多少度时，平行四边形是正方形？

小聪同学的思路是：首先可以说明四边形是矩形；然后延长交于点，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）与的夹角为________度时，四边形是正方形．

理由：

Answer 1

【答案】(1)详见解析；（2）90.

【解析】

（1）由正方形ABCD，易得∠EBG＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可证得四边形BEFG是矩形；

（2）首先作辅助线：延长GP交DC于点H，根据正方形与平行四边形的性质，利用AAS易得△DHP≌△FGP，则有HP＝GP，当∠CPG＝90°时，利用SAS易证△CPH≌△CPG，根据全等三角形与正方形的性质，即可得BG＝GF，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得BEFG是菱形，而∠EBG＝90°，即得四边形BEFG是正方形．

（1）∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，

∴∠EBG＝90°，

∴BEFG是矩形；

（2）90°；

理由：延长GP交DC于点H，

∵正方形ABCD和平行四边形BEFG中，AB∥DC，BE∥GF，

∴DC∥GF，

∴∠HDP＝∠GFP，∠DHP＝∠FGP，

∵P是线段DF的中点，

∴DP＝FP，

∴△DHP≌△FGP，

∴HP＝GP，

当∠CPG＝90°时，∠CPH＝∠CPG，

∵CP＝CP，

∴△CPH≌△CPG，

∴CH＝CG，

∵正方形ABCD中，DC＝BC，

∴DH＝BG，

∵△DHP≌△FGP，

∴DH＝GF，

∴BG＝GF，

∴BEFG是菱形，

由（1）知四边形BEFG是矩形，

∴四边形BEFG是正方形．