精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
4.在Rt△ABC中,AC=3,AB=4,D为斜边BC中点,E为AB上一个动点,将△ABC沿直线DE折叠,A、C的对应点分别为A′、C′,EA′交BC于点F,若△BEF为直角三角形,则BE的长度为$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{4}$.

分析 根据∠B为锐角,分两种情况进行讨论:当∠BEF=90°时,△BEF为直角三角形;当∠BFE=90°时,△BEF为直角三角形,分别根据等腰直角三角形的性质,三角形中位线定理,轴对称的性质以及直角三角形的边角关系进行计算,即可得到BE的长度.

解答 解:分两种情况:
①如图,当∠BEF=90°时,△BEF为直角三角形,
过D作DM⊥AB于M,则∠EMD=90°,DM∥AC,

∵D为BC的中点,
∴M为AB的中点,
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=2,DM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$,
由折叠可得,∠MED=$\frac{1}{2}$∠AEF=45°,
∴△DEM是等腰直角三角形,
∴EM=DM=$\frac{3}{2}$,
∴BE=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$;

②如图,当∠BFE=90°时,△BEF为直角三角形,
连接AD,A'D,

根据对称性可得,∠EAD=∠DA'D,AD=A'D
∵Rt△ABC中,AC=3,AB=4,
∴BC=5,
∵Rt△ABC中,D为BC的中点,
∴AD=BD=A'D=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$,
∴∠B=∠EAD,
∴∠B=∠FA'D,
设BE=x,则BF=BE×cosB=$\frac{4}{5}$x,
∴DF=BD-BF=$\frac{5}{2}$-$\frac{4}{5}$x,
又∵Rt△A'DF中,sin∠FA'D=sinB,即$\frac{DF}{A'D}$=$\frac{3}{5}$
∴$\frac{\frac{5}{2}-\frac{4}{5}x}{\frac{5}{2}}=\frac{3}{5}$,
解得x=$\frac{5}{4}$,
即BE=$\frac{5}{4}$,
综上所述,BE的长度为$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{4}$.

点评 本题主要考查了折叠问题,直角三角形的性质,三角形中位线定理,轴对称的性质以及解直角三角形的运用,解决问题的关键是依据△BEF为直角三角形,画出图形进行分类讨论.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

14.用a,b,c作三角形的三边,其中不能构成直角三角形的是(  )
A.a=$\sqrt{1}$,b=$\sqrt{2}$,c=$\sqrt{3}$B.a=2,b=3,c=4C.a=12,b=5,c=13D.a=$\sqrt{7}$,b=2,c=$\sqrt{3}$

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

15.若x、y为非零线段的长,则下列说法错误的是(  )
A.若$\frac{x}{7}$=$\frac{y}{3}$,则$\frac{x+y}{x-y}$=$\frac{5}{2}$B.若2x-5y=0,则$\frac{x-2y}{y}$=$\frac{1}{2}$
C.若线段a:b=c:d,则$\frac{a+b}{c+d}=\frac{b}{d}$D.若线段a:b=c:d,则$\frac{a+m}{b+m}$=$\frac{c}{d}$

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

12.如图,将三角形ABC沿BC方向平移5cm得到三角形DEF,若BF=9CE,则BC的长为4cm.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

19.等腰△ABC的一边BC=3,另两边AB、AC恰好分别是方程x2-(m+2)x+2m=0的两实数根,那么等腰△ABC的周长是7或8.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

9.如果一个正数的平方根是a+3与2a-9,那么这个正数是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

16.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=BC,∠D=45°,CD的垂直平分线交CD于E,交AD于F,交BC的延长线于G,若AD=a.
(1)求证:四边形ABCF是正方形;
(2)求BG的长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

13.小明做拼图游戏时发现:8个完全相同的小长方形恰好可以拼成一个大长方形,如图(1)所示,小丽看见后,也想试一试,结果拼成了如图(2)所示的正方形,不过中间有一处空白,空白处恰好是边长为2cm的小正方形,请求出每个小长方形的长和宽.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

14.小明、小华和小芳三个人到文具店购买同一种笔记本和钢笔,他们把各自购买的数量和总价列成了表格.聪明的小明发现其中有一个人把总价算错了,这个算错的人是小芳.
 小明小华小芳
笔记本(本)152427
钢笔(支)254045
总价(元)330528585

查看答案和解析>>

同步练习册答案