Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取点D，又在AC延长线上取点E，使CE＝BD，连结DE，交BC于点G．求证：DG＝GE

Answer 1

答案：
解析：

分析　欲证明DG＝GE，DG所在的△BDG与GE所在的△CCE根本无法全等，此时应考虑与△BDG或△CEG全等的三角形，可以引辅助线DF∥CE或EM∠AB构成全等三角形． 　　证法一　如答图(1)所示，过点D作DF∥AC，交BC于点F．∴∠DFB＝∠ACB．又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．∴∠B＝∠DFB．∴DF＝DB．∵BD＝CE，∴DF＝CE．∵DF∥CE， 　　∴∠DFG＝∠ECG．在△DFG与△ECG中， 　　∵∠DGF＝∠EGC，∠DFG＝∠ECG，DF＝CE， 　　∴△DFG≌△ECG(AAS)．∴DG：EG． 　　证法二　如答图(2)，过E作EM∥AB交BC的延长线于肘∴∠M＝∠B． 　　∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．又∵∠MCE＝∠ACB， 　　∴∠M＝∠MCE．∴EM＝EC． 　　∵EC＝BD，∴EM＝BD．又∵∠BGD＝／MGE，∴△BGD＝≌△MGE．∴DG＝EG． 　　证法三　如答图(3)，过D、E分别作DK⊥BC于K，EH⊥BC于H．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB． 　　又∵∠ACB＝∠HCE，∴∠B＝∠HCE∵BD＝EC，∴Rt△BDK≌Rt△CEH∴DK＝EH．又∵∠DGK＝∠EGH，∴Rt△DKG≌Rt△EHG．∴DG＝EG． 　　 　　点拨　当有等腰三角形时，常过一点作腰的平行线，从而得到一个新的等腰三角形，或者得到一部分角相等，这样可以为证题创造更多有利条件．