Question

如图，形如量角器的半圆O的直径DE＝12 cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm，半圆O以2 cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上，设运动的时间为t(s)，当t＝0时，半圆O在△ABC的左侧，OC＝8 cm．

(1)当t为何值时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切？

(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

Answer 1

答案：
解析：

(1)①如图1，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC＝OE＝6 cm，AC与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了2 cm，所求运动时间为t＝＝1(s) 　　②如图2，当点O运动到点C时，过点O作OF⊥AB，垂足为F，在Rt△FOB中，∠FBO＝30°，OB＝12 cm，则OF＝6 cm，即OF等于半圆O所在圆的半径，所以AB与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了8 cm，所求运动时间为t＝＝4(s) 　　③如图3，当点O运动到BC的中点时，ACOD，OC＝OD＝6 cm，所以AC与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了14 cm，所求运动时间为t＝＝7(s) 　　④如图4，当点O运动到B点的右侧，且OB＝12 cm时，过点O作QO⊥直线AB，垂足为Q，在，∠OBQ＝30°，则OQ＝6 cm，即QO等于半圆O所在圆的半径，所以直线AB与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了32 cm，所求运动时间为t＝＝16(s)． 　　因为半圆O在运动中，它所在的圆与AC所在的直线相切只有上述①③两种情形，与AB所在的直线相切只有上述②④两种情形，与BC所在的直线始终相交，所以，只有t为1 s，4 s，7 s，16 s时，△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切， 　　(2)当△ABC的一边所在的直线与半圆O所在的圆相切时，半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分的只有如图2，与图3所示的两种情形． 　　①如图2，设OA与半圆O的交点为M，易知重叠部分是圆心角为90°，半径为6 cm的扇形，所求重叠部分面积为：S扇形EOM＝×62＝9(cm2) 　　②如图3，设AB与半圆O的交点为P，连接OP，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点P到点H的距离PH＝BH，在Rt△OBH中，∠OBH＝30°，OB＝6 cm，则OH＝3 cm，BH＝3 cm，BP＝6 cm，S△POB＝×6×3＝9(cm2)， 　　又因为∠DOP＝2∠DBP＝60°，所以S扇形ODP＝×62＝6(cm2)． 　　所求重叠部分面积为：S△POB＋S扇形ODP＝(9＋6) cm2