Question

1．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，且AM=BC，点P是AB延长线上的一点，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠BAC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）在图中找一条与MN相等的线段，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AN，由AC为⊙O的直径，得到∠ANC=90°，根据等腰三角形的性质得到∠NAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，证得∠BCP=∠NAC，于是得到结论；
（2）由四边形AMNC是圆内接四边形，得到∠AMN+∠ACB=180°，由于∠BMN+∠AMN=180°，得到∠BMN=∠ACB，根据等腰三角形的性质得到∠BMN=∠MBN，即可得到结论．

解答 （1）证明：连接AN，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
又∵AB=AC，
∴∠NAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BCP=∠NAC，
∵∠NAC+∠ACN=90°，
∴∠BCP+∠ACN=90°，
∴AC⊥CP，
∴PC是⊙O的切线；

（2）MN=BN，
理由：解：∵四边形AMNC是圆内接四边形，
∴∠AMN+∠ACB=180°，
又∵∠BMN+∠AMN=180°，
∴∠BMN=∠ACB，
∵AB=AC，∠ABC=∠ACB，
∴∠BMN=∠MBN，
∴MN=BN．

点评 本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，掌握的作出辅助线是解题的关键．