Question

如图，已知OA=10，P是射线ON上的一动点（即P点在射线ON上运动），且∠AON=60°．
（1）当OP=

10

时，△AOP为等边三角形，此时∠APO的度数为

60°

；
（2）当△AOP为直角三角形时，OP=

5或20

，此时∠APO的度数为

90°或30°

．

Answer 1

分析：（1）由∠AON=60°，可得当OP=OA=10时，△AOP为等边三角形；
（2）分别从若AP⊥ON与若PA⊥OA去分析求解，根据三角函数的性质，即可求得OP的长．

解答：解：（1）∵∠AON=60°，
∴当OP=OA=10时，△AOP为等边三角形；
故答案为：10，60°；

（2）若AP⊥ON，
∵∠AON=60°，
∴OP=OA•cos60°=

1

2

×10=5，∠APO的度数为90°；
若PA⊥OA，则OP=

OA

cos60°

=20，
∴当OP=5或20时，△AOP为直角三角形，∠APO的度数为30°．
故答案为：5或20，90°或30°．

点评：此题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．