Question

如图1，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E、与AB相切于点F，连接EF．
（1）判断EF与AC的位置关系（不必说明理由）；
（2）如图2，过E作BC的垂线，交圆于G，连接AG，判断四边形ADEG的形状，并说明理由；
（3）求证：AC与GE的交点O为此圆的圆心．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据∠EFB与∠FEB都是弦切角，可得△ABC是等边三角形，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，即△BFE为等边三角形，所以求得∠BAC=∠BFE，∠BCA=∠BEF，可证明EF∥AC；
（2）根据圆切BC于E，EG为直径，AD=EG，AD⊥BC，可判定四边形ADEG为矩形；
（3）由（1）（2）的结论，证明AC垂直平分FG；再根据垂径定理，可知AC必过圆心，又EG为直径，所以AC与GE的交点O为此圆的圆心．
解答：（1）解：EF∥AC；

（2）解：四边形ADEG为矩形；
理由：
∵EG⊥BC，E为切点，
∵BC为圆O的切线，
∴EG为直径，
∴EG=AD；
又∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴AD∥EG，
由EG=AD，AD∥EG，
得出四边形ADEG为平行四边形，
∵∠ADE=90°，
∴平行四边形ADEG为矩形；

（3）证明：连接FG，由（2）可知EG为直径，
∴FG⊥EF；
又由（1）可知EF∥AC，
∴AC⊥FG；
又∵四边形ADEG为矩形，
∴EG⊥AG，
∴AG是已知圆的切线；
∵AF=AG，
∴AC是FG的垂直平分线，故AC必过圆心，（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，根据等腰三角形三线合一定理即可得出AC垂直平分FG）
∴圆心O就是AC与EG的交点．
点评：本题综合考查了切线的性质和垂径定理．要熟练掌握矩形的判定和圆中的有关性质才能灵活的解题．