Question

【题目】如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点，该抛物线的对称轴与x轴交于点E．

（1）直接写出抛物线的解析式为 ；

（2）以点E为圆心的⊙E与直线AB相切，求⊙E的半径；

（3）连接BC，点P是第三象限内抛物线上的动点，连接PE交线段BC于点D，当△CED为直角三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1)y=+2x﹣3；(2)；(3)（﹣1，﹣4）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）先利用一次函数解析式求出A点和B点坐标，再把A点和B点坐标代入y=+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；

（2）作EH⊥AB于H，如图1，先利用勾股定理计算出AB，再利用切线的性质得EH为⊙E的半径，然后证明Rt△EAH∽Rt△BAO，则可利用相似比计算出EH；

（3）先通过确定C点坐标可得到OC=OB=3，则可判断△OBC为等腰直角三角形，所以∠OCB=45°，分类讨论：当∠CDE=90°，则△CDE为等腰直角三角形，作DF⊥CE于F，如图2，根据等腰直角三角形的性质得DF=EF=CF=CE=1，则可确定D（﹣2，﹣1），再利用待定系数法求出直线OD的解析式为y=x+1，然后通过解方程组可得到此时P点坐标；当∠CED=90°时，EP∥y轴，此时P点为抛物线的顶点．

试题解析：（1）当y=0时，3x﹣3=0，解得x=1，则A（1，0），

当x=0时，y=3x﹣3=﹣3，则B（0，﹣3），

把A（1，0），B（0，﹣3）代入y=+bx+c得，解得，

所以抛物线解析式为y=+2x﹣3；

故答案为：y=+2x﹣3；

（2）作EH⊥AB于H，如图1，

∵y=+2x﹣3=﹣4，

∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则E（﹣1，0）

∵A（1，0），B（0，﹣3），

∴AB==，

∵以点E为圆心的⊙E与直线AB相切，

∴EH为⊙E的半径，

∵∠EAH=∠BAO，

∴Rt△EAH∽Rt△BAO，

∴EH：OB=EA：AB，即EH：3=2：，解得EH=，

即⊙E的半径为；

（3）当y=0时，+2x﹣3=0，解得=-3，=1，则C（﹣3，0），

∵OC=OB=3，

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴∠OCB=45°，

当∠CDE=90°，则△CDE为等腰直角三角形，作DF⊥CE于F，如图2，则DF=EF=CF=CE=1，

∴D（﹣2，﹣1），

设直线OD的解析式为y=mx+n，

把E（﹣1，0），D（﹣2，﹣1）代入得，解得，

∴直线OD的解析式为y=x+1，

解方程组得或，

∴P点坐标为（，）；

当∠CED=90°时，EP∥y轴，此时P点坐标为（﹣1，﹣4），

综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，﹣4）或（，）．