Question

对于形如x²+2ax+a²这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）²的形式．但对于二次三项式x²+2ax-3a²，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x²+2ax-3a²中先加上一项a²，使它与x²+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a²，整个式子的值不变，于是有：
x²+2ax-3a²=（x²+2ax+a²）-a²-3a²
=（x+a）²-（2a）²
=（x+3a）（x-a）．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：
①a²-6a-7；
②a⁴+a²b²+b⁴．
（2）若a+b=5，ab=6，求：
①a²+b²；
②a⁴+b⁴的值．

Answer 1

分析：（1）①前两项加9再减9，可以组成完全平方式；
②利用原式加上a²b²，再减去a²b²，由完全平方公式即可；
（2）①加2ab再减2ab可以组成完全平方式；
②在①得基础上，加2a²b²再减2a²b²，可以组成完全平方式．

解答：解：（1）利用“配方法”分解因式：
①a²-6a-7
=a²-6a+9-9-7
=（a-3） ²-16
=（a-3+4）（a-3-4）
=（a+1）（a-7）；

②a⁴+a²b²+b⁴，
=a⁴+a²b²+b⁴+a²b²-a²b²，
=a⁴+2a²b²+b⁴-a²b²，
=（a²+b²）²-a²b²，
=（a²+b²-ab）（a²+b²+ab）；

（2）若a+b=5，ab=6，求：
①a²+b²=（a+b） ²-2ab，
将a+b=5，ab=6代入上式得：
原式=5 ²-2×6=25-12=13；

②a⁴+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²，
=13²-2×6²，
=97．

点评：本题考查十字相乘法分解因式，配方法是数学习题里经常出现的方法，应熟练掌握．