Question

8、如图，已知⊙O₁和⊙O₂外切于点A，直线BD切于⊙O₁点B，交⊙O₂于C、D，直线DA交于⊙O₁点E．
求证：①∠BAC=∠ABC+∠D；
②连接BE，你还能推出哪些结论．（不再标注其他字母，不再添加辅助线，不写推理过程）写出五条结论即可．

Answer 1

分析：（1）可通过构建弦切角来求证．过点A作⊙O₁和⊙O₂的公切MN，交BC于点M，根据弦切角定理，我们可得出∠MCA=∠D，由于MA、MB都是圆O₁的切线，因此MB=MA，也就得出了∠MBA=∠MAB，也就得出了所证的结论；
（2）连接BE后，根据弦切角定理，∠ABC=∠E，由于∠MAB=∠ABC+∠D，根据（1）的结论，∠MAB=∠BAC，因此三角形EBA∽△BAC，因此可得出对应的角相等，对应的线段成比例．

解答：解：（1）过点A作⊙O₁和⊙O₂的公切MN，交BC于点M，
∵CB切⊙O₁于点B，MN切⊙O₁于点A，
MA=MB，
∴∠ABC=∠BAM，
∵MN切⊙O₂于点A，
∴∠CAM=∠D，又∠BAC=∠BAM+∠CAM，
∴∠BAC=∠ABC+∠D；

（2）∠EAB=∠BAC，△ABC∽△AEB，∠ABC=E，∠ABE=∠ACB，AB2=AC•AE等．

点评：本题主要考查了切线的性质，弦切角定理，切线长定理等知识点．本题中通过构建切线根据弦切角和切线长定理来得出角相等是解题的关键．