Question

17．如图，四边形ABCO方形，△BEF是等腰直角三角形，∠EBF=90°，点C，E在x轴上，点A在y轴上，点F在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）第一象限内的图象上，S_△BEF=5，OC=1，则k=8．

Answer 1

分析 过点F作FG⊥y轴于点G，延长CB交FG于点H，设点F（x，$\frac{k}{x}$），证△BHF≌△ECB得HF=BC=1，EC=BH=$\frac{k}{x}$-1，由HF=x-1得x-1=1，即x=2，根据S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE²=5得BE=BF=$\sqrt{10}$，根据EC²+BC²=BE²得（$\frac{k}{x}$-1）²+1=10，即（$\frac{k}{2}$-1）²+1=10，解之可得答案．

解答 解：过点F作FG⊥y轴于点G，延长CB交FG于点H，

∵四边形ABCO是正方形，且OC=1，
∴BH⊥FG，
∴∠BHF=∠ECB=90°，
∴∠HBF+∠HFB=90°，
又∵∠EBF=90°，且BE=BF，
∴∠HBF+∠EBC=90°，
∴∠HFB=∠EBC，
在△BHF和△ECB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠BHF=∠ECB}\\{∠HFB=∠CBE}\\{BF=EB}\end{array}\right.$，
∴△BHF≌△ECB，
设点F（x，$\frac{k}{x}$）
∴HF=BC=1，EC=BH=$\frac{k}{x}$-1，
∵HF=x-1，
则x-1=1，即x=2，
又∵S_△BEF=$\frac{1}{2}$BE²=5，
∴BE=BF=$\sqrt{10}$，
∵EC²+BC²=BE²，
∴（$\frac{k}{x}$-1）²+1=10，即（$\frac{k}{2}$-1）²+1=10，
解得：k=8或k=-4＜0（舍），
故答案为：8．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及根据勾股定理得出关于k的方程是解题的关键．