Question

两个全等的三角形ABC和DEF重叠在一起，△ABC的面积为3，且AB=CB，固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：
（1）如图①，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积；
（2）如图②，当D点B向右平移到B点时，试判断CE与BF的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若∠AEC=15°，求AB的长．

Answer 1

解：（1）过点C作CE⊥AB于点H，
由平移的性质可得：CF=AD，CF∥AB，
∴S_{四边形CDBF}=（CF+BD）•CH=（AD+BD）•CH=AB•CH，
∵S_△ABC=AB•CH=3，
∴S_{四边形CDBF}=3；

（2）CE⊥BF．
理由：由平移的性质可得：BE=CF，BE∥CF，
∴四边形CBEF是平行四边形，
∵AB=CB，AB=BE，
∴CB=BE，
∴?CBEF是菱形，
∴CE⊥BF；

（3）过点C作CG⊥AB于点G，
∵CB=BE，∠AEC=15°，
∴∠BCE=∠AEC=15°，
∴∠ABC=∠AEC+∠BCE=30°，
∴在Rt△BCG中，CG=CB，
∵AB=CB，
∴CG=AB，
∴S_△ABC=AB•CG=AB²=3，
解得：AB=2．
分析：（1）首先过点C作CE⊥AB于点H，由平移的性质可得：CF=AD，CF∥AB，即可得S_{四边形CDBF}=（CF+BD）•CH=（AD+BD）•CH=AB•CH=S_△ABC=3；
（2）由平移的性质可得：BE=CF，BE∥CF，可证得四边形CBEF是平行四边形；又由AB=BC=BE，即可得?CBEF是菱形，由菱形的性质可证得：CE⊥BF；
（3）首先过点C作CG⊥AB于点G，由∠AEC=15°，可得∠ABC=30°，即可得CG=CB=AB，又由△ABC的面积为3，即可求得AB的长．
点评：此题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．