Question

15．某校九年级组织有奖知识竞赛，派小明去购买A、B两种品牌的钢笔作为奖品．已知一支A品牌钢笔的价格比一支B品牌钢笔的价格的多5元，且买100元A品牌钢笔与买50元B品牌钢笔数目相同．
（1）求A、B两种品牌钢笔的单价分别为多少元？
（2）根据活动的设奖情况，决定购买A、B两种品牌的钢笔共100支，如果设购买A品牌钢笔的数量为n支，购买这两种品牌的钢笔共花费y元．
①直接写出y（元）关于n（支）的函数关系式；
②如果所购买A品牌钢笔的数量不少于B品牌钢笔数量的$\frac{1}{3}$，请你帮助小明计算如何购买，才能使所花费的钱最少？此时花费是多少？

Answer 1

分析 （1）根据题意可以列出相应的分式方程，注意分式方程要检验，从而可以解答本题；
（2）①根据题意可以写出y（元）关于n（支）的函数关系式；
②根据所购买A品牌钢笔的数量不少于B品牌钢笔数量的$\frac{1}{3}$和①中函数关系式可以解答本题．

解答 解：（1）设一支B品牌钢笔的价格为x元，则一支A品牌钢笔的价格为（5+x）元，
$\frac{100}{x+5}=\frac{50}{x}$，
解得，x=5，
经检验，x=5是原方程的解，
当x=5时，x+5=10，
答：一支A、B品牌的钢笔价格分别为10元和5元；

（2）①由题意可得，
y=10n+（100-n）×5=5n+500，
即y（元）关于n（支）的函数关系式y=5n+500；
②由题意可得，
n≥$\frac{1}{3}（100-n）$，
解得，n≥25，
∵y=5n+500，
∴当n=25时，y取得最小值，此时，y=625，100-n=75，
答：购买A品牌钢笔25支，B品牌钢笔75支，花钱最少．此时的花费为625元．

点评 本题考查分式方程的应用、一元一次方程的应用，不等式应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的性质和不等式的性质解答．