Question

已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为（-4，4）．平行于x轴的直线l过（0，-1）点．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；
（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小，最小面积是多少？

Answer 1

分析：（1）已知了一次函数的图象经过A点，可将A点的坐标代入一次函数中，即可求出一次函数的解析式．
由于抛物线的顶点为原点，因此可设其解析式为y=ax²，直接将A点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．
（2）求直线与圆的位置关系需知道圆心到直线的距离和圆的半径长．由于直线l平行于x轴，因此圆心到直线l的距离为1．因此只需求出圆的半径，也就是求AB的长，根据（1）中两函数的解析式即可求出B点的坐标，根据A、B两点的坐标即可求出AB的长．然后判定圆的半径与1的大小关系即可．
（3）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴为x=2．因此过F，M，N三点的圆的圆心必在直线x=2上，要使圆的面积最小，那么圆心到F点的距离也要最小（设圆心为C），即F，C两点的纵坐标相同，因此圆的半径就是2．C点的坐标为（2，1）（可根据一次函数的解析式求出F点的坐标）．可设出平移后的抛物线的解析式，表示出MN的长，如果设对称轴与x轴的交点为E，那么可表示出ME的长，然后在直角三角形MEC中根据勾股定理即可确定平移的距离．即t的值．（也可根据C点的坐标求出M，N点的坐标，然后用待定系数法求出平移后的抛物线的解析式，经过比较即可得出平移的距离，即t的值）．

解答：解：（1）把A（-4，4）代入y=kx+1
得k=-

3

4

，
∴一次函数的解析式为y=-

3

4

x+1；
∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴，
∴设二次函数解析式为y=ax²，
把A（-4，4）代入y=ax²
得a=

1

4

，
∴二次函数解析式为y=

1

4

x²．

（2）由

y=- 3 4 x+1 y= 1 4 x2

解得

x=-4 y=4

或

x=1 y= 1 4

，
∴B(1，

1

4

)，
过A，B点分别作直线l的垂线，垂足为A'，B'，
则AA′=4+1=5，BB′=

1

4

+1=

5

4

．
∴直角梯形AA'B'B的中位线长为

5+ 5 4

2

=

25

8

，
过B作BH垂直于直线AA'于点H，
则BH=A'B'=5，AH=4-

1

4

=

15

4

，
∴AB=

52+( 15 4 )2

=

25

4

，
∴AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍，
∴以AB为直径的圆与直线l相切．

（3）平移后二次函数解析式为y=

1

4

（x-2）²-t，
令y=0，得

1

4

（x-2）²-t=0，x₁=2-2

t

，x₂=2+2

t

，
∵过F，M，N三点的圆的圆心一定在平移后抛物线的对称轴上，点C为定点，B要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线x=2的距离，
此时，半径为2，面积为4π，
设圆心为C，MN中点为E，连CE，CM，则CE=1，
在△CEM中，ME=

22-1

=

3

，
∴MN=2

3

，而MN=|x₂-x₁|=4

t

，
∴t=

3

4

，
∴当t=

3

4

时，过F，M，N三点的圆面积最小，最小面积为4π．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的平移等知识点，综合性强考查学生数形结合的数学思想方法．