Question

18．如图，在等腰直角三角形MNC中．CN=MN=$\sqrt{2}$，将△MNC绕点C顺时针旋转60°，得到△ABC，连接AM，BM，BM交AC于点O．
（1）∠NCO的度数为15°；
（2）求证：△CAM为等边三角形；
（3）连接AN，求线段AN的长．

Answer 1

分析 （1）由旋转可得∠ACM=60°，再根据等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，运用角的和差关系进行计算即可得到∠NCO的度数；
（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行证明即可；
（3）根据△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等边三角形，判定△ACN≌△AMN，再根据Rt△ACD中，AD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$，等腰Rt△MNC中，DN=$\frac{1}{2}$CM=1，即可得到AN=AD-ND=$\sqrt{3}$-1．

解答 解：（1）由旋转可得∠ACM=60°，
又∵等腰直角三角形MNC中，∠MCN=45°，
∴∠NCO=60°-45°=15°；
故答案为：15°；

（2）∵∠ACM=60°，CM=CA，
∴△CAM为等边三角形；

（3）连接AN并延长，交CM于D，
∵△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等边三角形，
∴NC=NM=$\sqrt{2}$，CM=2，AC=AM=2，
在△ACN和△AMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{NC=NM}\\{AC=AM}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△AMN（SSS），
∴∠CAN=∠MAN，
∴AD⊥CM，CD=$\frac{1}{2}$CM=1，
∴Rt△ACD中，AD=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$，
等腰Rt△MNC中，DN=$\frac{1}{2}$CM=1，
∴AN=AD-ND=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形．