Question

已知：某种水果的进价为每千克2元，据市场预测，日销售量y（千克）与售价x（元）的关系是y=60-x（2＜x≤60）．
（1）请直接写出售价为10元时的日销售量；
（2）在销售期间的累计折损费用z（元）与售价x（元）的关系式为z=x²+bx+c，若售价为2元时，该种水果的累计折损费用为5元；若售价为3元时，该种水果的累计折损费用为8元．
①求z关于x的函数关系式；
②设该种水果日销售的总利润为W元，若日销售量y不少于45千克，试求W的最大值．
（总利润=总收入-总支出）

Answer 1

分析：（1）已知y=60-x，当售价为10元时，日销量为50；
（2）将已知坐标代入函数解析式得出b，c的值．令y≥45，解得2＜x≤15，再由w与x的函数解析式求出a＜0．利用配方法求出最大值．

解答：解：（1）50千克（3分）
（2）①把

x=2 z=5

和

x=3 z=8

．
分别代入z=x²+bx+c
得，

2b+c=1 3b+c=-1

，
解得

b=-2 c=5

，
∴z=x²-2x+5（5分）
②由y=60-x≥45，解得，x≤15，
∴2＜x≤15．（1分）
W=（x-2）y-z
=（x-2）（60-x）-（x²-2x+5）
=-2x²+64x-125
=-2（x-16）²+387（2分）
∵a=-2＜0
∴函数图象为开口向下的抛物线（附函数图象草图如左）
其对称轴为直线x=16，由函数图象知：

当2＜x≤16时，W随x的增大而增大．（1分）
∴当x=15时，W有最大值，
此时w_最大值=-2（15-16）²+387=385（元）．（13分）

点评：本题考查的是二次函数的实际应用以及学生的作图能力．