Question

14．如图，在等边三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，已知∠AMN=60°，
（1）求证：AM=MN；
（2）当M在直线BC上运动时，上述结论是否成立？若成立，请画图证明．

Answer 1

分析 （1）在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM，求出∠2=∠1，∠5=∠MCN，根据ASA推出△AEM≌△MCN即可，
（2）连接AM．先由等边三角形的性质、角平分线的定义及已知条件∠ANM=60°得出∠ANM=∠ACM=60°，则A、C、N、M四点共圆，∠NAM=∠NCM=∠BAC=60°，再利用SAS证明△ABN≌△ACM，得出AM=AN，又∠ANM=60°，则△AMN是等边三角形，从而得出AN=NM．

解答 （1）证明：如图1，在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM，
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．
又∵CN平分∠ACP，∠4=$\frac{1}{2}$∠ACP=60°，
∴∠MCN=∠3+∠4=120°…①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM，
∴△BEM为等边三角形，
∴∠6=60°，
∴∠5=180°-∠6=120°，
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{AE=MC}\\{∠5=∠MCN}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△MCN （ASA），
∴AM=NM；

（2）解：AM=NM仍然成立，理由如下：
如图2，连接AN，CN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC．
∵CN为等边△ABC的外角∠ACP的平分线，
∴∠ACN=∠NCP=$\frac{1}{2}$∠ACP=60°，
∴∠AMN=∠ACN=60°，
∴A、C、M、N四点共圆，
∴∠NAM=∠NCM=∠BAC=60°，
∴∠BAC+∠CAM=∠NAM+∠CAM，即∠BAM=∠CAN，
∵AB=AC，∠ABM=∠ACN=60°，
在△ABM与△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CAN}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN，
∴AN=AM，
∵∠AMN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=NM．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质，四点共圆的条件，全等三角形的判定与性质，有一定难度．抓住两个小题中的不变条件，得到相同的解题方法是解决第（2）小题的关键．