分析 (1)在AB上截取EA=MC,连接EM,得△AEM,求出∠2=∠1,∠5=∠MCN,根据ASA推出△AEM≌△MCN即可,
(2)连接AM.先由等边三角形的性质、角平分线的定义及已知条件∠ANM=60°得出∠ANM=∠ACM=60°,则A、C、N、M四点共圆,∠NAM=∠NCM=∠BAC=60°,再利用SAS证明△ABN≌△ACM,得出AM=AN,又∠ANM=60°,则△AMN是等边三角形,从而得出AN=NM.
解答 (1)证明:如图1,在AB上截取EA=MC,连接EM,得△AEM,
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN,∠2=180°-∠AMB-∠B,∠AMN=∠B=60°,
∴∠1=∠2.
又∵CN平分∠ACP,∠4=$\frac{1}{2}$∠ACP=60°,
∴∠MCN=∠3+∠4=120°…①
又∵BA=BC,EA=MC,
∴BA-EA=BC-MC,即BE=BM,
∴△BEM为等边三角形,
∴∠6=60°,
∴∠5=180°-∠6=120°,
∴由①②得∠MCN=∠5.
在△AEM和△MCN中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{AE=MC}\\{∠5=∠MCN}\end{array}\right.$,
∴△AEM≌△MCN (ASA),
∴AM=NM;
(2)解:AM=NM仍然成立,理由如下:
如图2,连接AN,CN,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=∠BAC=60°,AB=AC.
∵CN为等边△ABC的外角∠ACP的平分线,
∴∠ACN=∠NCP=$\frac{1}{2}$∠ACP=60°,
∴∠AMN=∠ACN=60°,
∴A、C、M、N四点共圆,
∴∠NAM=∠NCM=∠BAC=60°,
∴∠BAC+∠CAM=∠NAM+∠CAM,即∠BAM=∠CAN,
∵AB=AC,∠ABM=∠ACN=60°,
在△ABM与△ACN中,$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CAN}\\{AB=AC}\\{∠B=∠ACN}\end{array}\right.$,
∴△ABM≌△ACN,
∴AN=AM,
∵∠AMN=60°,
∴△AMN是等边三角形,
∴AM=NM.
点评 本题考查了等边三角形的判定与性质,四点共圆的条件,全等三角形的判定与性质,有一定难度.抓住两个小题中的不变条件,得到相同的解题方法是解决第(2)小题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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