Question

如图，已知四边形ABCD、AEFG均为正方形，∠BAG=α（0°＜α＜180°）．
（1）求证：BE=DG，且BE⊥DG；
（2）设正方形ABCD、AEFG的边长分别是3和2，线段BD、DE、EG、GB所围成封闭图形的面积为S．当α变化时，指出S的最大值及相应的α值．（直接写出结果，不必说明理由）

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质可得到△DAG≌△BAE（SAS），且AD、AB夹角为90°，所以△BAE是△DAG顺时针旋转90°得到的．
（2）当α=90°时，点E、点G分别在BA、DA的延长线上，形成的图形是一个等腰梯形BDEG，且面积最大，可以知道∠BAG=90°．

解答：（1）证明：
证法一：∵四边形ABCD，AEFG均为正方形，
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，（2分）
∴将AD、AG分别绕点A按顺时针方向旋转90°，它们恰好分别与AB、AE重合．
即点D与点B重合，点G与点E重合．（3分）
∴DG绕点A顺时针旋转90°与BE重合，（5分）
∴BE=DG，且BE⊥DG．（6分）
证法二：∵四边形ABCD、AEFG均为正方形，
∴∠DAB=∠GAE=90°，AD=AB，AG=AE，（2分）
∴∠DAB+α=∠GAE+α，
∴∠DAG=∠BAE，
①当α≠90°时，由前知△DAG≌△BAE（SAS），（2分）
∴BE=DG，（3分）
∴∠ADG=∠ABE，（4分）
设直线DG分别与直线BA、BE交于点M、N，
又∵∠AMD=∠BMN，∠ADG+∠AMD=90°，
∴∠ABE+∠BMN=90°，（5分）
∴∠BND=90°，
∴BE⊥DG，（6分）
②当α=90°时，点E、点G分别在BA、DA的延长线上，显然BE=DG，且BE⊥DG．
（说明：未考虑α=90°的情形不扣分）

（2）解：当α=90°时，点E、点G分别在BA、DA的延长线上，形成的图形是一个等腰梯形BDEG，
通过观察比较可知，当α=90°时，S有最大值，且S=

1

2

×3×2×2+

1

2

×2×2+

1

2

×3×3=

25

2

．（7分）
当S取得最大值时，α=90°．（8分）

点评：本题利用了正方形的性质，旋转的判定性质，以及有一个公共点的两个正方形的对角线形成的图形，其面积的最大值的问题．