Question

如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，线段EP⊥AB于点F，交BC于点G，与⊙O交于点D，PC＝PG．

⑴求证：PC是⊙O的切线

⑵若点C在劣弧上运动，其它条件不变，问具备什么条件使结论成立？请说明其理由．

⑶在满足问题⑵的条件下，AB＝10，ED＝8，求sin∠A的值．

Answer 1

答案：
解析：

⑴证明：连结OC， 　　∵AB⊥CD，∴∠BFG＝90°∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°…1分∴∠A＝∠BGF 　　∵∠PGC＝∠BGF，∴∠PGC＝∠A…2分∵PC＝PG，∴∠PCG＝∠PGC，∴∠PCG＝∠A…3分，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∴∠PCG＝∠OCA，∵∠OCA＋∠OCB＝∠ACB＝90°∴∠PCG＋∠OCB＝90°…4分∴PC是⊙O的切线…5分 　　⑵如图，还应具备的条件是：G是BC的中点(或OG⊥BC或OG∥AC)…6分 　　连结OG，G为BC的中点，OG⊥BC，又∵FG⊥OB，∴Rt△BFG∽Rt△BGO…7分 　　∴∴…8分 　　⑶连结OE，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD∴EF，∵AB＝10，∴OE＝5…9分，Rt△OEF中，据勾股定理得，∴BF， 　　∵，∴BG，…10分 　　∴sin∠BGF∵∠A＝∠BGF∴sin∠A…11分